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오일러의 증명: 싱크함수를 이용한 제곱수의 역수의 합 구하기 📂함수

오일러의 증명: 싱크함수를 이용한 제곱수의 역수의 합 구하기

정리

∑n=1∞1n2=π26 \sum_{n =1 }^{\infty} {{1} \over {n^2}} = {{ \pi ^2 } \over { 6 }}

증명

전략: 이는 오일러가 남긴 풀이로써, 다름아닌 싱크함수의 오일러 표현을 사용해서 증명한다. 아이디어가 상당히 신선하고 재미있어서 한번 보면 잊어버리는 게 더 어려울 것이다.

싱크함수의 오일러 표현: sin⁡xx=∏n=1∞(1−x2π2n2) {{\sin x} \over {x}} = \prod_{n=1}^{\infty} \left( 1 - {{x^2} \over { \pi^2 n^2}} \right)

오일러 표현의 우변을 풀어서 적어보면 아래와 같다. ∏n=1∞(1−x2π2n2)=(1−x2π2)(1−x24π2)(1−x29π2)⋯ \prod_{n=1}^{\infty} \left( 1 - {{x^2} \over { \pi^2 n^2}} \right) = \left( 1 - {{x^2} \over { \pi^2 }} \right) \left( 1 - {{x^2} \over { 4 \pi^2 }} \right) \left( 1 - {{x^2} \over { 9 \pi^2 }} \right) \cdots 한편 사인함수의 매클로린 전개를 생각해보면 싱크함수는 다음과 같이 나타낼 수 있다. sin⁡xx=1x(x−x33!+x55!−x77!+⋯ ) {{\sin x} \over {x}} = {{1} \over {x}} \left( x - {{x^{3}} \over {3!}} + {{x^{5}} \over {5!}} - {{x^{7}} \over {7!}} + \cdots \right) 양변이 서로 같다는 것은 각 항마다의 계수가 같다는 것이고, x2x^{2} 의 계수만 비교해보면 아래와 같다. −13!=−1π2−14π2−19π2−⋯ - {{1} \over {3!}} = - {{1} \over {\pi^2 }} - {{1} \over { 4 \pi^2 }} - {{1} \over { 9 \pi^2 }} - \cdots 양변에 −π2- \pi^2 을 곱하면 π26=11+14+19+⋯ {{\pi^2} \over {6}} = {{1} \over { 1 }} + {{1} \over { 4 }} + {{1} \over { 9 }} + \cdots 정리하면 ∑n=1∞1n2=π26 \sum_{n =1 }^{\infty} {{1} \over {n^2}} = {{ \pi ^2 } \over { 6 }}

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