📂고전역학

코리올리 힘 (전향력)

정의¹

관성계 $Oxyz$와, 원점을 공유하며 이에 대해 각속도 $\boldsymbol{\omega}$로 회전하는 좌표계 $Ox^{\prime}y^{\prime}z^{\prime}$를 생각하자. 회전축 방향의 단위벡터를 $\mathbf{n}$, 각속력을 $\omega$라 하면 회전 좌표계의 각속도는 $\boldsymbol{\omega} = \omega \mathbf{n}$이고, 그 방향은 외적의 정의와 같이 오른손 규칙으로 정한다. $\mathbf{i}^{\prime}, \mathbf{j}^{\prime}, \mathbf{k}^{\prime}$은 회전 좌표계의 기저이며, 관성계의 기저 $\mathbf{i}, \mathbf{j}, \mathbf{k}$와 달리 시간에 따라 변한다. 질량 $m$인 입자의 위치, 속도, 가속도를 회전 좌표계에서 측정한 것을 각각 $\mathbf{r}^{\prime}, \mathbf{v}^{\prime}, \mathbf{a}^{\prime}$이라 하고, 관성계에서 입자에 실제로 작용하는 힘의 합을 $\mathbf{F}$라 하자. 회전 좌표계에서 관측한 입자의 운동방정식은 다음과 같다.

$$ m \mathbf{a}^{\prime} = \mathbf{F} - m \dot{\boldsymbol{\omega}} \times \mathbf{r}^{\prime} - m \boldsymbol{\omega} \times \left( \boldsymbol{\omega} \times \mathbf{r}^{\prime} \right) - 2 m \boldsymbol{\omega} \times \mathbf{v}^{\prime} \tag{1} $$

우변에서 실제 힘 $\mathbf{F}$를 제외한 나머지 항을 관성력^{inertial force} 혹은 가상력^{fictitious force}이라 하고, 그중 입자의 속도에 비례하는 항을 코리올리 힘^{Coriolis force}이라 한다.

$$ \mathbf{F}_{\text{Cor}} := - 2 m \boldsymbol{\omega} \times \mathbf{v}^{\prime} $$

설명

코리올리 힘을 쉽게 말하면 이렇다. 회전하는 좌표계 위에서 물건을 똑바로 던지면 관성계에서는 직선으로 날아가지만, 좌표계와 함께 도는 관측자에게는 경로가 옆으로 휘어 보인다. 이 관측자가 휘어짐의 원인으로 느끼는 힘이 코리올리 힘이다. 아래의 그림과 영상은 회전좌표계 위에서 물체를 던졌을 때, 각각 그 밖과 안에서 보는 관찰자가 물체의 궤적을 어떻게 느끼는지 잘 보여준다. 회전좌표계의 관찰자는 분명히 물체를 똑바로 던졌지만, 좌표계 자체가 회전하고 있으므로 물체의 궤적이 휘어 보인다. 반면에 회전좌표계 밖에서 보고있는 사람은 물체가 그대로 직선운동하고 있는 것으로 보인다.

코리올리 힘은 각속도 $\boldsymbol{\omega}$와 속도 $\mathbf{v}^{\prime}$ 모두에 수직이다. 두 벡터 사이의 각을 $\alpha$라 하면 크기는 $2m\omega v^{\prime} \sin\alpha$이고, 입자가 회전 좌표계에 대해 정지해 있거나($\mathbf{v}^{\prime} = \mathbf{0}$) 회전축과 나란히 움직이면($\mathbf{v}^{\prime} \parallel \boldsymbol{\omega}$) 사라진다. 관성력 중 유일하게 속도에 의존하며, 항상 속도에 수직이므로 입자에 일을 하지 않는다. 즉 코리올리 힘은 속력을 바꾸지 않고 운동 방향만 휘게 한다. 회전축 위에서 내려다볼 때 좌표계가 반시계 방향으로 돌면 코리올리 힘은 진행 방향의 오른쪽으로 작용한다.

계수 2는 두 가지 효과가 겹쳐서 생긴다. 하나는 회전 좌표계의 기저 $\mathbf{i}^{\prime}, \mathbf{j}^{\prime}, \mathbf{k}^{\prime}$이 시간에 따라 돌기 때문에 같은 속도 벡터 $\mathbf{v}^{\prime}$도 관성계에서 보면 $\boldsymbol{\omega} \times \mathbf{v}^{\prime}$만큼 변하는 효과이고, 다른 하나는 입자가 $\mathbf{v}^{\prime}$으로 움직이면 위치 $\mathbf{r}^{\prime}$이 바뀌어 좌표계의 회전에 의한 속도 $\boldsymbol{\omega} \times \mathbf{r}^{\prime}$이 $\boldsymbol{\omega} \times \mathbf{v}^{\prime}$의 비율로 변하는 효과이다. 두 항이 같은 크기로 더해져 $2\boldsymbol{\omega} \times \mathbf{v}^{\prime}$이 된다.

지구는 각속력 $\omega \approx 7.29 \times 10^{-5},\mathrm{rad/s}$로 자전하므로 지표면에 고정된 좌표계는 회전 좌표계이다. 위도 $\lambda$인 지점에서 $\boldsymbol{\omega}$를 연직 성분 $\omega \sin\lambda$와 북쪽을 향하는 수평 성분 $\omega \cos\lambda$로 나누면, 수평으로 움직이는 물체가 받는 코리올리 힘의 수평 성분은 연직 성분에서만 나오고 그 크기는 $2m\omega v^{\prime} \sin\lambda$이다. 북반구에서는 진행 방향의 오른쪽, 남반구에서는 왼쪽으로 작용하며 적도에서는 $0$이다.

지구의 자전은 느리므로 이 힘은 매우 작다. 위도 $45^{\circ}$에서 $10,\mathrm{m/s}$로 움직이는 물체가 받는 코리올리 가속도는 약 $10^{-3},\mathrm{m/s^{2}}$로 중력가속도의 만분의 일 정도다. 따라서 일상적인 규모의 운동에서는 무시할 수 있지만, 오랜 시간 넓은 공간에 걸쳐 일어나는 운동에서는 효과가 누적되어 뚜렷해진다. 북반구의 저기압이 반시계 방향으로 도는 것, 푸코 진자의 진동면이 하루에 $360^{\circ} \sin\lambda$만큼 돌아가는 것, 장거리 포탄이 오른쪽으로 치우치는 것, 자유 낙하하는 물체가 동쪽으로 치우치는 것이 그 예이다. 욕조의 물이 빠질 때 소용돌이 방향이 반구에 따라 다르다는 이야기는 흔한 오해로, 그 규모에서는 코리올리 힘이 용기의 모양이나 물의 초기 흐름에 비해 훨씬 작다.

기상학과 지리학에서는 운동 방향을 바꾼다는 뜻에서 전향력이라 부른다. 이름은 1835년에 회전 기계의 역학을 다루면서 이 힘을 처음 기술한 프랑스의 공학자 가스파르귀스타브 드 코리올리^{Gaspard-Gustave de Coriolis}에서 따왔다.