교대 다항식
정의1
체 $F$ 위의 $n$변수 다항식 $f \in F[x_{1}, \dots, x_{n}]$이 대칭군 $S_{n}$의 모든 원소 $\sigma$ 에 대해서 다음을 만족하면, $f$ 를 교대 다항식alternating polynomial이라 한다.
$$ f(x_{\sigma(1)}, \dots, x_{\sigma(n)}) = \sgn (\sigma) f(x_{1}, \dots, x_{n}) $$
여기서 $\sgn (\sigma)$ 는 순열의 부호다.
쉬운 정의
변수 두 개를 골라 서로 맞바꿨을 때 부호만 뒤집히는 다항식이 교대 다항식이다. 예를 들어 $f(x_{1}, x_{2}) = x_{1} - x_{2}$에서 두 변수의 자리를 바꾸면 $x_{2} - x_{1} = -f(x_{1}, x_{2})$가 되는데, 식의 생김새는 그대로이고 앞에 마이너스만 하나 붙었다. 변수가 셋 이상이어도 조건은 똑같다. 어느 두 개를 맞바꿔도 부호만 뒤집히면 그것이 교대 다항식이다.
설명
임의의 순열은 두 변수를 맞바꾸는 전위들의 곱으로 분해되고 부호는 그 곱을 따라 그대로 곱해지므로, 전위에 대해서만 부호가 뒤집힘을 보이면, 나머지 순열에 대해서도 자동으로 성립한다. 따라서 어떤 다항식이 교대 다항식인지 확인할 때는 임의의 두 변수 $x_{i}$와 $x_{j}$를 맞바꾼 결과가 원래의 식에 마이너스 부호만 붙은 것과 같은지만 보면 충분하다.
예시
$n = 2$일 때 $x_{1} - x_{2}$는 교대 다항식이다. 반면 $x_{1} + x_{2}$와 $x_{1}x_{2}$는 교대 다항식이 아니다. 이들은 대칭 다항식이라 불린다.
$n$개의 변수에 대한 표준적인 예시는 다음의 방데르몽드 다항식Vandermonde polynomial이다.
$$ v_{n}(x_{1}, \dots, x_{n}) := \prod_{1 \le i < j \le n} (x_{j} - x_{i}) $$
$n = 3$이면 $v_{3} = (x_{1} - x_{2})(x_{1} - x_{3})(x_{2} - x_{3})$ 이고, 실제로 $x_{1}$ 과 $x_{2}$ 를 맞바꾸면 첫 인수의 부호가 뒤집히고 나머지 두 인수가 자리만 바꿔 앉으므로 전체 부호가 반대가 된다. 이름에서 짐작할 수 있듯 $v_{n}$ 은 방데르몽드 행렬의 행렬식과 같은 식이다.
성질
$f, g$ 를 교대 다항식, $s$ 를 대칭 다항식이라 하자.
(a) $f + g$ 와 $f - g$ 는 교대 다항식이다.
(b) $fg$ 는 대칭 다항식이고, $fs$ 는 교대 다항식이다.