대칭 다항식
정의1
체 $F$ 위의 $n$변수 다항식 $f \in F[x_{1}, \dots, x_{n}]$ 이 대칭군 $S_{n}$ 의 모든 $\sigma$ 에 대해서 다음을 만족하면, $f$ 를 대칭다항식symmetric polynomial이라 한다.
$$ f(x_{\sigma(1)}, x_{\sigma(2)}, \dots, x_{\sigma(n)}) = f(x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}) $$
쉬운 정의
변수의 이름을 서로 바꿔 넣어도 식이 그대로인 다항식을 대칭다항식이라 한다. 이를테면 $x + y$에서 $x$와 $y$를 맞바꾸면 $y + x$가 되는데 이는 처음의 식과 같으므로 $x + y$는 대칭다항식이고, $xy$도 같은 이유로 대칭다항식이다. 반면 $x - y$는 맞바꾸면 $y - x$가 되어 처음의 식과 다르므로 대칭다항식이 아니다. 변수가 셋 이상이면 그중 어느 둘을 맞바꾸든, 나아가 이름표를 어떤 식으로 돌려 붙이든 식이 그대로여야 한다.
설명
임의의 순열은 두 원소만을 교환하는 순열들의 합성으로 나타낼 수 있으므로 그러한 교환에 대해서만 식이 변하지 않음을 보이면, 나머지 순열에 대해서도 자동으로 식이 변하지 않는다. 따라서 어떤 다항식이 대칭다항식인지 확인할 때는 임의의 두 변수 $x_{i}$와 $x_{j}$를 맞바꾼 결과가 원래의 식과 같은지만 보면 충분하다.
예시
$n = 2$일 때 $x + y$, $xy$, $x^{2} + y^{2}$ 등은 모두 대칭다항식이다. 반면 $x - y$는 두 변수를 맞바꾸면 부호가 뒤집히므로 대칭다항식이 아니다. 이렇게 호환에서 부호만 바뀌는 다항식을 🔒(26/10/24)교대 다항식이라 한다.
$n = 3$일 때 대칭다항식의 가장 대표적인 예는 다음 세 개의 기본대칭다항식이다.
$$ e_{1} = x + y + z, \qquad e_{2} = xy + yz + zx, \qquad e_{3} = xyz $$
성질
(a) 대칭다항식의 합, 차, 곱은 다시 대칭다항식이다. 즉 대칭다항식들의 집합은 $F[x_{1}, \dots, x_{n}]$의 부분환을 이룬다.