기본 대칭 다항식
정의1
$n$개의 변수 $x_{1}, \dots, x_{n}$에 대한 다음의 다항식을 $k$번째 기본 대칭 다항식elementary symmetric polynomial이라 한다.
$$ e_{k}(x_{1}, \dots, x_{n}) := \sum_{\mathclap{1 \le i_{1} < i_{2} < \cdots < i_{k} \le n}} x_{i_{1}} x_{i_{2}} \cdots x_{i_{k}}, \qquad k = 1, \dots, n $$
관례상 $e_{0} := 1$ 로 두고, $k < 0$ 이거나 $k > n$ 이면 $e_{k} := 0$ 으로 둔다.
쉬운 정의
$e_{k}$는 $n$개의 변수 중에서 $k$개를 골라 곱한 뒤, 고를 수 있는 모든 경우를 빠짐없이 더한 식이다. 이를테면 변수가 $x, y, z$ 세 개일 때 둘씩 골라 곱하는 방법은 $xy$, $yz$, $zx$ 세 가지뿐이므로 $e_{2}$는 다음과 같다.
$$ e_{2}(x, y, z) = xy + yz + zx $$
같은 식으로 $e_{1}$은 하나씩만 고른 것이니 변수를 전부 더한 $x + y + z$이고, $e_{3}$은 셋을 다 고른 것이니 변수를 전부 곱한 $xyz$다. 따라서 $n=3$에 대해서 각각의 $e_{k}$는 아래와 같다.
$$ \begin{align*} e_{1} &= x + y + z \\ e_{2} &= xy + yz + zx \\ e_{3} &= xyz \end{align*} $$
설명
서로 다른 $n$개 중에서 $k$개를 고르는 방법이 모두 $\binom{n}{k}$가지이므로 $e_{k}$의 항의 개수도 $\binom{n}{k}$개다. 또 어느 항이든 변수를 $k$개씩 곱해 만든 것이라 모든 항의 차수가 $k$로 같으며, 이런 다항식을 $k$차 동차다항식이라 한다.
변수의 순서를 바꿔도 "$k$개를 고르는 모든 경우"는 달라지지 않는다. 위의 $e_{2}(x, y, z) = xy + yz + zx$에서 $x$와 $z$의 순서를 바꿔 보면 $e_{2}(z, y, x) = zy + yx + xz$가 되는데, 항이 적힌 순서만 달라졌을 뿐 같은 식이다. 이를 대칭군 $S_{n}$의 말로 옮기면 임의의 순열 $\sigma$에 대해서 다음이 성립한다는 뜻이고, 이런 성질을 갖는 다항식을 🔒(26/10/22)대칭다항식이라 한다.
$$ e_{k}(x_{\sigma(1)}, \dots, x_{\sigma(n)}) = e_{k}(x_{1}, \dots, x_{n}) $$
대칭다항식은 이것 말고도 얼마든지 많은데, 하필 이들에게 "기본"이라는 이름이 붙은 것은 어떤 대칭다항식을 가져오든 $e_{1}, \dots, e_{n}$의 합과 곱으로 유일하게 나타낼 수 있기 때문이다. 대칭다항식을 다루는 한 이 $n$개만 있으면 충분하다는 뜻이다.
예시
$n = 2$ 이면 다음의 두 개다.
$$ e_{1} = x_{1} + x_{2}, \qquad e_{2} = x_{1} x_{2} $$
$n = 3$ 이면 다음의 세 개다.
$$ e_{1} = x_{1} + x_{2} + x_{3}, \qquad e_{2} = x_{1}x_{2} + x_{1}x_{3} + x_{2}x_{3}, \qquad e_{3} = x_{1} x_{2} x_{3} $$
이들은 $x_{1}, \dots, x_{n}$을 근으로 갖는 다항식을 전개할 때 부호만 번갈아 붙은 채로 계수 자리에 그대로 나타난다. $n = 3$ 인 경우를 직접 전개해 보면 다음과 같다. 즉 다항식의 관점에서 $e_{k}$는 $k-1$차항의 계수이며 이는 모든 $k$개의 근의 합으로 이루어져있다. 이를 근과 계수의 관계라 한다.
$$ (x - x_{1})(x - x_{2})(x - x_{3}) = x^{3} - e_{1}x^{2} + e_{2}x - e_{3} $$
성질
(a) $e_{k}$는 $\binom{n}{k}$개의 항으로 이루어진 $k$차 동차 대칭다항식이다.
(b) 생성함수는 다음과 같다.
$$ \prod_{i=1}^{n} (1 + x_{i} t) = \sum_{k=0}^{n} e_{k}(x_{1}, \dots, x_{n}) t^{k} $$
(c) 다음의 점화식이 성립한다.
$$ e_{k}(x_{1}, \dots, x_{n}) = e_{k}(x_{1}, \dots, x_{n-1}) + x_{n} e_{k-1}(x_{1}, \dots, x_{n-1}) $$
(d) 대칭다항식의 기본정리: 모든 대칭다항식은 $e_{1}, \dots, e_{n}$의 다항식으로 유일하게 표현된다.