근과 계수의 관계
정리
체 $F$ 위의 $n$차 다항식을 아래와 같이 나타내자. 계수 $a_{0}, \dots, a_{n}$은 $F$의 원소이고, $a_{n} \ne 0$이다.
$$ f(x) = a_{n}x^{n} + a_{n-1}x^{n-1} + \cdots + a_{1}x + a_{0} \in F[x], \qquad a_{n} \ne 0 $$
$f(x)$가 $F$의 확대체 $E$ 위에서 다음과 같이 (중근을 포함하여) $1$차식들의 곱으로 분해된다고 하자.
$$ f(x) = a_{n} (x - r_{1})(x - r_{2}) \cdots (x - r_{n}), \qquad r_{1}, \dots, r_{n} \in E $$
그러면 $k$번째 🔒(26/10/20)기본 대칭 다항식 $e_{k}$에 대해서 다음이 성립하며, 이를 근과 계수의 관계relation between roots and coefficients 혹은 비에트 공식Vieta formulas이라 한다.
$$ e_{k}(r_{1}, \dots, r_{n}) = (-1)^{k} \frac{a_{n-k}}{a_{n}}, \qquad k = 1, \dots, n \tag{1} $$
설명
기본 대칭 다항식 $e_{k}(r_{1}, \dots, r_{n})$는 $r_{1}, \dots, r_{n}$ 중에서 $k$개를 선택해 곱한 것들의 합이다. 예를 들어 $n = 3$이면
$$ \begin{align*} (k = 1) \quad e_{1}(r_{1}, r_{2}, r_{3}) &= r_{1} + r_{2} + r_{3} \\ (k = 2) \quad e_{2}(r_{1}, r_{2}, r_{3}) &= r_{1}r_{2} + r_{1}r_{3} + r_{2}r_{3} \\ (k = 3) \quad e_{3}(r_{1}, r_{2}, r_{3}) &= r_{1}r_{2}r_{3} \end{align*} $$
즉 $k = 1$일 때는 모두 더한 것, $k = n$일 때는 모두 곱한 것이 된다.
$$ r_{1} + r_{2} + \cdots + r_{n} = -\frac{a_{n-1}}{a_{n}}, \qquad r_{1} r_{2} \cdots r_{n} = (-1)^{n} \frac{a_{0}}{a_{n}} $$
증명
전략: $\prod_{i=1}^{n}(x - r_{i})$를 전개했을 때 $x^{n-k}$의 계수가 $(-1)^{k}e_{k}$임을 보이고, 이를 $f$의 계수와 비교한다.
$n$개의 인수 $(x - r_{1}), \dots, (x - r_{n})$를 곱해서 전개한다는 것은, 각 인수에서 $x$ 또는 $-r_{i}$ 중 하나를 골라 곱한 것들을 모두 더한다는 뜻이다. 이때 $x^{n-k}$이 나오려면 $k$개의 인수에서는 $-r_{i}$를, 나머지 $n-k$개의 인수에서는 $x$를 골라야 한다. $-r_{i}$를 고른 인수의 번호가 $i_{1}, \dots, i_{k}$라면, 그 항은 다음과 같다.
$$ (-r_{i_{1}}) \cdots (-r_{i_{k}}) \cdot x^{n-k} = (-1)^{k} r_{i_{1}} \cdots r_{i_{k}} x^{n-k} $$
가능한 모든 선택에 대해 이 항들을 더하면, $x^{n-k}$의 계수는 $r_{1}, \dots, r_{n}$ 중에서 $k$개를 선택해 곱한 것들의 합에 $(-1)^{k}$를 곱한 것, 즉 $(-1)^{k}e_{k}(r_{1}, \dots, r_{n})$이다. 따라서 다음이 성립한다. 단, $e_{0} = 1$이다.
$$ \prod_{i=1}^{n}(x - r_{i}) = \sum_{k=0}^{n} (-1)^{k} e_{k}(r_{1}, \dots, r_{n}) x^{n-k} \tag{2} $$
$f(x)$는 아래의 좌변, 우변과 같이 나타난다.
$$ \sum_{j=0}^{n} a_{j} x^{j} = f(x) = a_{n} \prod_{i=1}^{n}(x - r_{i}) = \sum_{k=0}^{n} (-1)^{k} a_{n} e_{k}(r_{1}, \dots, r_{n}) x^{n-k} $$
좌우변의 다항식은 서로 같으므로 차수마다 계수가 같다. $x^{n-k}$의 계수를 비교하면 다음과 같다.
$$ a_{n-k} = (-1)^{k} a_{n} e_{k}(r_{1}, \dots, r_{n}) $$
$a_{n} \ne 0$이므로 양변을 $a_{n}$으로 나누면 $(1)$을 얻는다.
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따름정리
(a) 2차방정식의 근과 계수의 관계: $a \ne 0$일 때, $ax^{2} + bx + c = 0$의 두 근 $r_{1}$, $r_{2}$에 대해서 다음이 성립한다.
$$ r_{1} + r_{2} = -\frac{b}{a}, \qquad r_{1}r_{2} = \frac{c}{a} $$
(b) 3차방정식의 근과 계수의 관계: $a \ne 0$일 때, $ax^{3} + bx^{2} + cx + d = 0$의 세 근 $r_{1}$, $r_{2}$, $r_{3}$에 대해서 다음이 성립한다.
$$ r_{1} + r_{2} + r_{3} = -\frac{b}{a}, \qquad r_{1}r_{2} + r_{2}r_{3} + r_{3}r_{1} = \frac{c}{a}, \qquad r_{1}r_{2}r_{3} = -\frac{d}{a} $$