파울리 행렬
정의
아래의 세 $2 \times 2$ 복소행렬을 파울리 행렬Pauli matrix이라 한다.
$$ \sigma_{1} = \sigma_{x} = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}, \quad \sigma_{2} = \sigma_{y} = \begin{bmatrix} 0 & -i \\ i & 0 \end{bmatrix}, \quad \sigma_{3} = \sigma_{z} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{bmatrix} \tag{1} $$
설명
아래의 성질 (c) 에 의해서 대수적으로는 $\mathfrak{su}(2)$의 기저가 되고, 물리학적으로는 스핀 연산자를 기술하는데 사용된다.
성질
(a) 유니터리행렬이자, 에르미트행렬이다. $I$는 단위행렬이다.
$$ \sigma_{i}^{\ast}\sigma_{i} = I, \quad \sigma_{i}^{\ast} = \sigma_{i} $$
유니터리이고 에르미트이므로 다음이 성립한다.
$$ \sigma_{i}^{2} = I $$
$$ \det (\sigma_{i}) = -1, \quad \tr (\sigma_{i}) = 0 $$
또한 에르미트 행렬의 고유값은 실수이고, 행렬식은 고유값들의 곱이므로 파울리 행렬의 고유값은 $\pm 1$이다.
(c) 파울리 행렬을 아래와 같이 표현할 수 있다.
$$ \sigma_{i} = \begin{bmatrix} \delta_{i3} & \delta_{i1} - i\delta_{i2} \\ \delta_{i1} + i\delta_{i2} & -\delta_{i3} \end{bmatrix} $$
여기서 $\delta_{ij}$는 크로네커 델타이다.
(d) 다음이 성립한다. 이하 아인슈타인 표기법을 사용한다.
$$ \sigma_{i}\sigma_{j} = \delta_{ij}I + i\epsilon_{ijk}\sigma_{k} $$
$\epsilon_{ijk}$는 레비-치비타 심볼이다.
(e) 아래의 교환 관계가 성립한다.
$$ \left[ \sigma_{i}, \sigma_{j} \right] = 2i\epsilon_{ijk} \sigma_{k},\qquad \left\{ \sigma_{i}, \sigma_{j} \right\} = 2\delta_{ij}I $$
증명
(a)
에르미트인 것은 $(1)$을 보면 자명하다. 다음이 만족하므로 유니터리이다.
$$ \begin{align*} \sigma_{1}^{\ast}\sigma_{1} &= \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \\[1em] \sigma_{2}^{\ast}\sigma_{2} &= \begin{bmatrix} 0 & -i \\ i & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & -i \\ i & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \\[1em] \sigma_{3}^{\ast}\sigma_{3} &= \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \end{align*} $$
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(c)
다음이 성립한다.
$$ \begin{align*} \begin{bmatrix} \delta_{{\color{red}1}3} & \delta_{{\color{red}1}1} - i\delta_{{\color{red}1}2} \\ \delta_{{\color{red}1}1} + i\delta_{{\color{red}1}2} & -\delta_{{\color{red}1}3} \end{bmatrix}&= \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} = \sigma_{1} \\[1em] \begin{bmatrix} \delta_{{\color{red}2}3} & \delta_{{\color{red}2}1} - i\delta_{{\color{red}2}2} \\ \delta_{{\color{red}2}1} + i\delta_{{\color{red}2}2} & -\delta_{{\color{red}2}3} \end{bmatrix}&= \begin{bmatrix} 0 & -i \\ i & 0 \end{bmatrix} = \sigma_{2} \\[1em] \begin{bmatrix} \delta_{{\color{red}3}3} & \delta_{{\color{red}3}1} - i\delta_{{\color{red}3}2} \\ \delta_{{\color{red}3}1} + i\delta_{{\color{red}3}2} & -\delta_{{\color{red}3}3} \end{bmatrix}&= \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{bmatrix} = \sigma_{3} \end{align*} $$
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(d)
(c) 의 공식을 사용한다. 편의를 위해 다음과 같이 두자.
$$ u_{i} = \delta_{i1} + i\delta_{i2} \implies \sigma_{i} = \begin{bmatrix} \delta_{i3} & \overline{u_{i}} \\ u_{i} & -\delta_{i3} \end{bmatrix} $$
그러면 $\sigma_{i}\sigma_{j}$는 다음과 같다.
$$ \sigma_{i}\sigma_{j} = \begin{bmatrix} \delta_{i3} & \overline{u_{i}} \\ u_{i} & -\delta_{i3} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \delta_{j3} & \overline{u_{j}} \\ u_{j} & -\delta_{j3} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \delta_{i3}\delta_{j3} + \overline{u_{i}}u_{j} & \delta_{i3}\overline{u_{j}} - \overline{u_{i}}\delta_{j3} \\ u_{i}\delta_{j3} - \delta_{i3}u_{j} & u_{i}\overline{u_{j}} + \delta_{i3}\delta_{j3} \end{bmatrix} $$
여기서 $\overline{u_{i}}u_{j}$는 아래와 같다.
$$ \begin{align*} \overline{u_{i}}u_{j} &= (\delta_{i1} - i\delta_{i2})(\delta_{j1} + i\delta_{j2}) \\ &= \delta_{i1}\delta_{j1} + \delta_{i2}\delta_{j2} + i\left( \delta_{i1}\delta_{j2} - \delta_{i2}\delta_{j1} \right) \\ &= \delta_{i1}\delta_{j1} + \delta_{i2}\delta_{j2} + i\epsilon_{ij3} \end{align*} $$ $$ \begin{align*} u_{i}\overline{u_{j}} &= (\delta_{i1} + i\delta_{i2})(\delta_{j1} - i\delta_{j2}) \\ &= \delta_{i1}\delta_{j1} + \delta_{i2}\delta_{j2} + i\left( \delta_{i2}\delta_{j1} - \delta_{i1}\delta_{j2} \right) \\ &= \delta_{i1}\delta_{j1} + \delta_{i2}\delta_{j2} - i\epsilon_{ij3} \end{align*} $$
마지막 등호는 레비-치비타 심볼의 성질 $\epsilon_{ij3} = \delta_{i1}\delta_{j2} - \delta_{i2}\delta_{j1}$에 의해 성립한다. 그러면 1행1열 성분은 아래와 같이 정리된다.
$$ \begin{align*} \delta_{i3}\delta_{j3} + \overline{u_{i}}u_{j} &= \delta_{i1}\delta_{j1} + \delta_{i2}\delta_{j2} + \delta_{i3}\delta_{j3} + i\epsilon_{ij3} = \delta_{ij} + i\epsilon_{ij3} \\ u_{i}\overline{u_{j}} + \delta_{i3}\delta_{j3} &= \delta_{i1}\delta_{j1} + \delta_{i2}\delta_{j2} + \delta_{i3}\delta_{j3} - i\epsilon_{ij3} = \delta_{ij} - i\epsilon_{ij3} \end{align*} $$
여기서는 크로네커 델타의 성질 $\delta_{ik}\delta_{jk} = \delta_{ij}$가 사용되었다. 비대각성분도 같은 방식으로 얻을 수 있다. 1행2열을 보자.
$$ \begin{align*} \delta_{i3}\overline{u_{j}} - \overline{u_{i}}\delta_{j3} &= \delta_{i3}(\delta_{j1} - i\delta_{j2}) - (\delta_{i1} - i\delta_{i2})\delta_{j3} \\ &= \left( \delta_{i3}\delta_{j1} - \delta_{i1}\delta_{j3} \right) - i\left( \delta_{i3}\delta_{j2} - \delta_{i2}\delta_{j3} \right) \\ &= \epsilon_{ij2} + i\epsilon_{ij1} \end{align*} $$
2행1열은 1행2열의 켤레이므로, $\sigma_{i}\sigma_{j}$는 다음과 같다.
$$ \begin{align*} \sigma_{i}\sigma_{j} &= \begin{bmatrix} \delta_{ij} + i\epsilon_{ij3} & \epsilon_{ij2} + i\epsilon_{ij1} \\ -\epsilon_{ij2} + i\epsilon_{ij1} & \delta_{ij} - i\epsilon_{ij3} \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} \delta_{ij} + i\epsilon_{ijk}\delta_{k3} & \epsilon_{ijk}\delta_{k2} + i\epsilon_{ijk}\delta_{k1} \\ -\epsilon_{ijk}\delta_{k2} + i\epsilon_{ijk}\delta_{k1} & \delta_{ij} - i\epsilon_{ijk}\delta_{k3} \end{bmatrix} \\ &= \delta_{ij}\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} + i\epsilon_{ijk}\begin{bmatrix} \delta_{k3} & \delta_{k1} - i\delta_{k2} \\ \delta_{k1} + i\delta_{k2} & -\delta_{k3} \end{bmatrix} \\ &= \delta_{ij}I + i\epsilon_{ijk}\sigma_{k} \end{align*} $$
이때 두번째 등호에선 공식 $\epsilon_{ijk}\delta_{k\ell} = \epsilon_{ij\ell}$이 사용되었다.
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(e)
(d) 에서 $i$와 $j$를 맞바꾸어 보자. 레비-치비타 심볼은 두 인덱스를 맞바꾸면 부호가 바뀌므로 $\epsilon_{jik} = -\epsilon_{ijk}$이고, 크로네커 델타는 $\delta_{ji} = \delta_{ij}$이다.
$$ \sigma_{j}\sigma_{i} = \delta_{ji}I + i\epsilon_{jik}\sigma_{k} = \delta_{ij}I - i\epsilon_{ijk}\sigma_{k} $$
(d) 와 이 식을 빼면 교환자, 더하면 반교환자가 되고 각각 한쪽 항만 남는다.
$$ \begin{align*} \left[ \sigma_{i}, \sigma_{j} \right] &= \sigma_{i}\sigma_{j} - \sigma_{j}\sigma_{i} = \left( \delta_{ij}I + i\epsilon_{ijk}\sigma_{k} \right) - \left( \delta_{ij}I - i\epsilon_{ijk}\sigma_{k} \right) = 2i\epsilon_{ijk}\sigma_{k} \\[1em] \left\{ \sigma_{i}, \sigma_{j} \right\} &= \sigma_{i}\sigma_{j} + \sigma_{j}\sigma_{i} = \left( \delta_{ij}I + i\epsilon_{ijk}\sigma_{k} \right) + \left( \delta_{ij}I - i\epsilon_{ijk}\sigma_{k} \right) = 2\delta_{ij}I \end{align*} $$
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