📂표현론

얽힘 사상

정의¹

$G$를 군, $(\rho, V)$와 $(\zeta, W)$를 이의 표현이라 하자. 다음을 만족하는 선형사상 $\phi : V \to W$를 $\rho$와 $\zeta$의 얽힘 사상^{intertwining map}이라 한다.

$$ \phi\left( \rho[g] v \right) = \zeta[g] \phi(v), \quad \forall g \in G,\enspace \forall v \in V $$

$\phi$가 가역함수이면 $\phi$를 동형사상 ^isomorphism이라 하고, 두 표현 $\rho$와 $\zeta$가 서로 동형^isomorphic이라 한다.

• 리 대수의 표현에 대해서도 같은 방식으로 정의한다.

설명

한마디로 선형인 등변사상을 특별히 얽힘 사상이라 부른다고 이해하면 된다. 변환 $\rho(g)$와 $\zeta(g)$를 간단히 $g = \rho(g) = \zeta(g)$라 표기하면, 얽힘 사상이라는 것은 군 $G$로부터의 작용과 교환가능한 사상이라는 것이 잘 드러난다.

$$ g \phi(v) = \phi(gv) $$

정리

$G$를 연결된 행렬 리 군이라 하자. $\Pi_{1}$, $\Pi_{2}$를 $G$의 표현이라 하자. $\pi_{1}$, $\pi_{2}$를 $G$의 리 대수의 표현이라 하자. 그러면 $\pi_{1}$과 $\pi_{2}$가 동형인 것의 필요충분조건은 $\Pi_{1}$과 $\Pi_{2}$가 동형인 것이다.

$$ \text{$\pi_{1}$ and $\pi_{2}$ are isomorphic $\iff$ $\Pi_{1}$ and $\Pi_{2}$ are isomorphic} $$