선형변환의 복소화
정의
유한차원 $\mathbb{R}$-벡터공간 $V$ 위의 선형변환 $A : V \to V$에 대해서, 복소화 $V_{\mathbb{C}}$ 위의 사상 $A_{\mathbb{C}} : V_{\mathbb{C}} \to V_{\mathbb{C}}$를 다음과 같이 정의하고, 이를 $A$의 복소화complexification라 한다.
$$ A_{\mathbb{C}}(\mathbf{v} + i\mathbf{w}) := A\mathbf{v} + i(A\mathbf{w}) $$
설명
$A_{\mathbb{C}}$가 $\mathbb{C}$-선형이라는 것은 정의를 따라가면 바로 확인된다.
덧셈: $V_{\mathbb{C}}$의 덧셈 $(\mathbf{v}_{1} + i\mathbf{w}_{1}) + (\mathbf{v}_{2} + i\mathbf{w}_{2}) = (\mathbf{v}_{1} + \mathbf{v}_{2}) + i(\mathbf{w}_{1} + \mathbf{w}_{2})$에 $A$가 $\mathbb{R}$-선형이라는 사실을 쓰면 다음과 같다.
$$ \begin{align*} A_{\mathbb{C}}\left[ (\mathbf{v}_{1} + i\mathbf{w}_{1}) + (\mathbf{v}_{2} + i\mathbf{w}_{2}) \right] &= A_{\mathbb{C}}\left[ (\mathbf{v}_{1} + \mathbf{v}_{2}) + i(\mathbf{w}_{1} + \mathbf{w}_{2}) \right] \\ &= A(\mathbf{v}_{1} + \mathbf{v}_{2}) + i A(\mathbf{w}_{1} + \mathbf{w}_{2}) \\ &= (A\mathbf{v}_{1} + A\mathbf{v}_{2}) + i(A\mathbf{w}_{1} + A\mathbf{w}_{2}) \\ &= \left( A\mathbf{v}_{1} + i(A\mathbf{w}_{1}) \right) + \left( A\mathbf{v}_{2} + i(A\mathbf{w}_{2}) \right) \\ &= A_{\mathbb{C}}(\mathbf{v}_{1} + i\mathbf{w}_{1}) + A_{\mathbb{C}}(\mathbf{v}_{2} + i\mathbf{w}_{2}) \end{align*} $$
스칼라곱셈: $V_{\mathbb{C}}$의 스칼라곱셈 $(a + bi)(\mathbf{v} + i\mathbf{w}) = (a\mathbf{v} - b\mathbf{w}) + i(a\mathbf{w} + b\mathbf{v})$에 마찬가지로 $A$가 $\mathbb{R}$-선형이라는 사실을 쓰면 다음과 같다.
$$ \begin{align*} A_{\mathbb{C}}\left[ (a + bi)(\mathbf{v} + i\mathbf{w}) \right] &= A_{\mathbb{C}}\left[ (a\mathbf{v} - b\mathbf{w}) + i(a\mathbf{w} + b\mathbf{v}) \right] \\ &= (aA\mathbf{v} - bA\mathbf{w}) + i(aA\mathbf{w} + bA\mathbf{v}) \\ &= (a + bi)\left( A\mathbf{v} + i(A\mathbf{w}) \right) \\ &= (a + bi) A_{\mathbb{C}}(\mathbf{v} + i\mathbf{w}) \end{align*} $$
한편 $\mathbf{w} = \mathbf{0}$인 원소에 대해서는 $A_{\mathbb{C}}\mathbf{v} = A\mathbf{v}$이므로, $V$를 $V_{\mathbb{C}}$의 부분집합으로 보면 $A_{\mathbb{C}}$는 $V$ 위에서 $A$와 똑같이 작용한다. 다시 말해 복소화는 $A$를 $V_{\mathbb{C}}$까지 자연스럽게 늘려 놓은 확장이다.