행렬의 특성다항식
정의
체 $F$ 위의 정방행렬 $A \in M_{n\times n}(F)$에 대해서, 다음과 같은 변수 $\lambda$에 대한 다항식을 $A$의 특성다항식characteristic polynomial이라 한다.
$$ p(\lambda) := \det(A - \lambda I) $$
설명
$p(\lambda) = 0$의 근이 곧 $A$의 고유값이므로, 고유값을 구하는 것은 곧 특성다항식의 근을 구하는 것이다. $p$는 $\lambda$에 대한 $n$차 다항식이고, 최고차항은 $(-1)^{n}\lambda^{n}$이다.
$n \ge 3$이면 아래 (a) 처럼 계수가 대각합과 행렬식만으로 결정되지는 않는다.
성질
(a) $2 \times 2$ 행렬 $A$의 특성다항식은 아래와 같다.
$$ \det(A - \lambda I) = \lambda^{2} - (\operatorname{tr} A)\lambda + \det A $$
여기서 $\det$는 행렬식, $\operatorname{tr}$은 대각합이다.
(b) $n \times n$ 행렬 $A$의 최고차항의 계수가 $1$인 특성다항식은 아래와 같다.
$$ (-1)^{n}\det(A - \lambda I) = \det(\lambda I - A) = \lambda^{n} - (\tr A) \lambda^{n-1} + \cdots + (-1)^{n}\det A $$
증명
(a)
$A$를 다음과 같이 두자.
$$ A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} $$
그러면 직접 계산으로 다음을 얻는다.
$$ \det(A - \lambda I) = \begin{vmatrix} a - \lambda & b \\ c & d - \lambda \end{vmatrix} = (a - \lambda)(d - \lambda) - bc = \lambda^{2} - (a + d)\lambda + (ad - bc) $$
이때 $a + d = \operatorname{tr} A$이고 $ad - bc = \det A$이므로 결론을 얻는다.
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(b)
$n \times n$ 행렬 $A$의 고유값을 대수적 중복을 포함하여 $\lambda_{1}, \dots, \lambda_{n}$이라 하자. 고유값은 특성방정식 $\det(\lambda I - A) = 0$의 근이므로 특성다항식은 다음과 같이 인수분해된다.
$$ \det(\lambda I - A) = (\lambda - \lambda_{1})(\lambda - \lambda_{2}) \cdots (\lambda - \lambda_{n}) $$
우변을 전개할 때 $\lambda^{n-1}$항은 $n$개의 인수 중 하나에서 $-\lambda_{i}$를, 나머지에서 $\lambda$를 고른 것들의 합이고, 상수항은 모든 인수에서 $-\lambda_{i}$를 고른 것이다. 따라서 다음과 같다.
$$ \det(\lambda I - A) = \lambda^{n} - \left( \sum_{i=1}^{n} \lambda_{i} \right) \lambda^{n-1} + \cdots + (-1)^{n} \prod_{i=1}^{n} \lambda_{i} $$
한편 $\tr(A) = \sum_{i=1}^{n}\lambda_{i}$, $\det(A) = \prod_{i=1}^{n}\lambda_{i}$가 성립하므로 다음을 얻는다.
$$ (-1)^{n}\det(A - \lambda I) = \det(\lambda I - A) = \lambda^{n} - (\tr A) \lambda^{n-1} + \cdots + (-1)^{n}\det A $$
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