📂표현론

킬링 폼

정의¹

유한차원 리 대수 $\mathfrak{g}$ 위에서 아래와 같이 정의되는 대칭 쌍선형 형식 $B$를 킬링 폼^{Killing form}이라 한다.

$$ B(X, Y) = \trace(\ad_{X} \circ \ad_{Y}) \tag{1} $$

여기서 $\trace$는 선형변환의 트레이스, $\ad_{X} : \mathfrak{g} \to \mathfrak{g}$는 아래와 같이 정의되는 선형사상이다.

$$ \ad_{X}(Y) = [X, Y]_{\mathfrak{g}} $$

설명

대문자 $K$가 쓰인 것으로 알 수 있듯이 Killing은 사람 이름이다. 독일의 수학자 빌헬름 킬링^{Wilhelm Karl Joseph Killing}에서 따온 것이다.

벡터공간에 내적이 주어지면, 이를 두 벡터끼리의 유사성을 비교하는 유사도 함수를 구성하는데 쓰거나, 두 벡터사이의 기하학적 관계를 스칼라값으로 나타내는 등 여러 방면으로 활용할 수 있다. 하지만 리 대수 $\mathfrak{g}$에는 내적이 주어져있지 않고, 브라켓 $[\cdot,\cdot]$만 주어져있다. 그런데 여기서 앞의 변수를 고정하면 $\ad = [X, \cdot]$이라는 선형변환이 된다. 따라서 리 대수의 원소 $X, Y$에 각각 대응하는 두 선형변환 $\ad_{X}$, $\ad_{Y}$를 이용하여 다음과 같은 매핑을 생각할 수 있다.

$$ (X, Y) \mapsto \trace(\ad_{X} \circ \ad_{Y}) $$

이는 $\ad_{X}$와 $\trace$의 선형성에 의해 쌍선형이고, 대각합의 성질에 의해 대칭이다.

$$ \trace(AB) = \trace(BA) $$

이와 같이 킬링 폼은 리 대수의 브라켓으로부터 자연스럽게 얻어지는 대칭쌍선형형식이다. 또한 아래의 정리에서 보이듯이 킬링 폼으로 $\mathfrak{g}$가 반단순인지 아닌지 판별할 수 있다.

성질

(a) 임의의 $X$에 대해서 $\ad_{X}$는 $B$에 대해서 반대칭이다. $$ B(\ad_{X}(Y), Z) = - B(Y, \ad_{X}(Z)), \quad \forall Y, Z \in \mathfrak{g} $$

(b) $\mathfrak{g}$의 브라켓에 대해서 불변이다. $$ B([X, Y]_{\mathfrak{g}}, Z) = B(X, [Y, Z]_{\mathfrak{g}}) $$

정리

$B$가 비퇴화^{nondegenerate}라는 것은 모든 $X \in \mathfrak{g}\setminus\left\{ 0 \right\}$에 대해서 다음을 만족하는 $Y \in \mathfrak{g}$가 존재한다는 것이다.

$$ B(X, Y) \ne 0 $$

$\mathbb{R}$ 혹은 $\mathbb{C}$ 위의 유한차원 리대수 $\mathfrak{g}$에 대하여, $\mathfrak{g}$가 반단순인 것은 $B$가 비퇴화인 것과 동치이다.

$$ \text{$B$ is nondegenerate $\iff$ $\mathfrak{g}$ is semisimple} $$

이를 카르탕 판정법^{Cartan’s criterion}이라 한다.

증명

편의를 위해 브라켓의 아랫첨자를 생략하여 $[\cdot, \cdot] = [\cdot, \cdot]_{\mathfrak{g}}$와 같이 나타내자.

성질 (a)

$\ad$가 리 대수 준동형사상이라는 것, 곧 다음이 성립한다는 것을 이용한다.

$$ \ad_{[X, Y]} = \ad_{X} \circ \ad_{Y} - \ad_{Y} \circ \ad_{X} $$

보이려는 등식의 좌변을 킬링 폼의 정의 $(1)$에 따라 전개하면 다음과 같다.

$$ \begin{align*} B(\ad_{X}(Y), Z) &= B([X, Y], Z) \\ &= \trace\left( \ad_{[X, Y]} \circ \ad_{Z} \right) \\ &= \trace\left( \ad_{X} \circ \ad_{Y} \circ \ad_{Z} \right) - \trace\left( \ad_{Y} \circ \ad_{X} \circ \ad_{Z} \right) \end{align*} $$

우변도 같은 방식으로 전개한다.

$$ \begin{align*} - B(Y, \ad_{X}(Z)) &= - B(Y, [X, Z]) \\ &= - \trace\left( \ad_{Y} \circ \ad_{[X, Z]} \right) \\ &= - \trace\left( \ad_{Y} \circ \ad_{X} \circ \ad_{Z} \right) + \trace\left( \ad_{Y} \circ \ad_{Z} \circ \ad_{X} \right) \end{align*} $$

두 전개에 공통으로 나타나는 $- \trace\left( \ad_{Y} \circ \ad_{X} \circ \ad_{Z} \right)$를 지우면, 남은 항끼리 같은지만 확인하면 된다. 대각합의 순환성 $\trace(ST) = \trace(TS)$에 위해 다음이 성립한다.

$$ \trace\left( \ad_{X} \circ \ad_{Y} \circ \ad_{Z} \right) = \trace\left( \ad_{Y} \circ \ad_{Z} \circ \ad_{X} \right) $$

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성질 (b)

성질 (a) 의 $X$ 자리에 $Y$를, $Y$ 자리에 $X$를 넣으면 $B(\ad_{Y}(X), Z) = - B(X, \ad_{Y}(Z))$이다. 여기에 브라켓의 반대칭성 $[Y, X] = -[X, Y]$를 함께 쓰면 다음을 얻는다.

$$ \begin{align*} B([X, Y], Z) &= - B([Y, X], Z) \\ &= - B(\ad_{Y}(X), Z) \\ &= B(X, \ad_{Y}(Z)) \\ &= B(X, [Y, Z]) \end{align*} $$

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