리 대수의 사다리 연산자
정의
리 대수 $\mathfrak{g}$가 주어졌다고 하자. $H\in \mathfrak{g}$에 대해서, $0$이 아닌 스칼라 $\alpha$에 대해 다음의 관계를 만족하는 $E_{\alpha} \in \mathfrak{g}\setminus\left\{ 0 \right\}$를 $H$의 사다리 연산자ladder operator라 한다.
$$ [H, E_{\alpha}] = \alpha E_{\alpha}, \quad (\alpha \ne 0,\ E_{\alpha} \ne 0) \tag{1} $$
설명
이를 연산자라고 하는 이유는 이것이 실제로 유효하게 작동하는 곳이 $\mathfrak{g}$의 표현공간이기 때문이다. 이를 사다리 연산자라고 하는 이유는 표현 $\pi$가 주어졌을 때 $\pi(E_{\alpha})$를 $\pi(H)$의 고유벡터에 적용했을 때, 다른 고유벡터로 건너가기 때문이다. 즉 정확하게 말하자면 $\pi(E_{\alpha})$가 사다리 연산자이다. 그리고 사다리 연산자라는 용어는 특히나 양자역학에서 널리 쓰이는 말이다.
이하 표현공간 위에서 작용을 다룰 때는 편의를 위해 아래와 같이 $\pi$를 생략하여 나타내자.
$$ H = \pi(H), \quad E_{\alpha} = \pi(E_{\alpha}) $$
$H$의 고유값을 $\lambda$, 이에 대응하는 고유벡터를 $v_{\lambda}$라 하자.
$$ Hv_{\lambda} = \lambda v_{\lambda} $$
그러면 $E_{\alpha}v_{\lambda}$가 $0$이 아닐 때, 이것이 고유값 $\lambda+\alpha$에 대응되는 고유벡터임을 다음과 같이 보일 수 있다.
$$ \begin{align*} H(E_{\alpha}v_{\lambda}) &= (HE_{\alpha})v_{\lambda} \\ &= (E_{\alpha}H + \alpha E_{\alpha})v_{\lambda} \\ &= (\lambda E_{\alpha} + \alpha E_{\alpha})v_{\lambda} \\ &= (\lambda + \alpha)(E_{\alpha}v_{\lambda}) \end{align*} $$
특별히 $\alpha$가 실수일 때, $\alpha > 0$이면 고유값이 계속 올라가기에 $E_{\alpha}$를 상승 연산자raising operator라 한다. 반대로 $\alpha \lt 0$이면 하강 연산자lowering operator라 한다.
$\ad_{H}$의 고유벡터
한편 $(1)$을 리 대수의 수반사상으로 나타내면 다음과 같다.
$$ [H, E_{\alpha}] = \ad_{H} (E_{\alpha}) = \alpha E_{\alpha} $$
즉 $E_{\alpha}$가 $(1)$을 만족한다는 것은, $E_{\alpha}$가 선형변환 $\ad_{H}$의 고유값 $\alpha$에 대응하는 고유벡터라는 의미이다. 헷갈리지 않도록 주의해야하는 것은 $E_{\alpha}$는 벡터공간 $\mathfrak{g}$에 속하는 고유벡터라는 것이고, 위 설명에서 등장한 $v_{\lambda}$는 벡터공간 $V$에 속한다는 것이다.
반대 방향의 사다리 연산자
$\mathfrak{g}$가 유한차원 반단순 리 대수라 하자. $E_{\alpha} \in \mathfrak{g}$를 고유값 $\alpha$에 대응하는 $\ad_{H}$의 고유벡터라고 하자. $\mathfrak{g}$가 🔒(26/10/04)반단순이므로 킬링 폼 $B$는 비퇴화이다. 킬링 폼의 성질 $B(\ad_{H}X, Y) = - B(X, \ad_{H}Y)$를 행렬로 나타내자. $B$에 대응하는 행렬을 $G$, $\ad_{H}$에 대응하는 행렬을 $A$라하면 이 성질은 다음과 같이 표현된다.
$$ A^{\mathsf{T}} G = - GA $$
$B$가 비퇴화이므로, $G$는 가역이다. 따라서 아래와 같이 $A^{\mathsf{T}}$와 $-A$는 닮음이다.
$$ G^{-1}A^{\mathsf{T}} G = -A $$
$A$의 고유값들의 집합을 $\sigma (A)$라 나타내자. 전치는 고유값을 바꾸지 않는다. 그리고 닮은 행렬은 고유값이 같으므로 다음이 성립한다.
$$ \sigma(A) = \sigma(A^{\mathsf{T}}) = \sigma(-A) = -\sigma(A) $$
그러므로 $\alpha$가 $\ad_{H}$의 고유값이면, $-\alpha$ 역시 고유값이다.
$$ \alpha \in \sigma(\ad_{H}) \implies -\alpha \in \sigma(\ad_{H}) $$
따라서 고유값 $-\alpha$에 대응하는 $\ad_{H}$의 고유벡터 $E_{-\alpha} \in \mathfrak{g}$가 존재하여 다음이 성립한다.
$$ [H, E_{-\alpha}] = \ad_{H} E_{-\alpha} = -\alpha E_{-\alpha} $$
따라서 고유벡터 $v_{\lambda} \in V_{\lambda}$에 $E_{-\alpha}E_{\alpha}$나 $E_{\alpha}E_{-\alpha}$를 적용하면 원래의 고유공간 $V_{\lambda}$으로 돌아온다. 이 때 주의할 점은 원래의 고유공간으로 돌아온다는 것이지 고유벡터 자체가 유지된다는 뜻은 아니다. $\dim V_{\lambda} \ge 2$이면 다른 고유벡터로 변할 수 있는 가능성이 있다.
$$ \begin{align*} E_{-\alpha}E_{\alpha} v_{\lambda} &= v_{\lambda} &\mathsf{(X)} \\ E_{-\alpha}E_{\alpha} v_{\lambda} &\in V_{\lambda} &\mathsf{(O)} \end{align*} $$
표현을 써서 엄밀하게 표현하면 다음과 같다.
$$ \pi(E_{\alpha}) : V_{\lambda} \to V_{\lambda+\alpha}, \quad \pi(E_{-\alpha}) : V_{\lambda+\alpha} \to V_{\lambda} $$
$$ \pi(E_{-\alpha})\pi(E_{\alpha})(V_{\lambda}) \subset V_{\lambda} $$
유한차원에서
$V$가 유한차원이라고 하자. $H$의 고유벡터 $v_{\lambda}$에 $E_{\alpha}$를 적용시키면 계속해서 $\lambda + \alpha$, $\lambda + 2\alpha$, $\cdots$에 대응하는 고유벡터들을 얻을 수 있는 것처럼 보인다. 위 계산을 반복하면 각각의 $k = 0, 1, 2, \cdots$에 대해서 다음이 성립하기 때문이다.
$$ H \left( (E_{\alpha})^{k} v_{\lambda} \right) = (\lambda + k\alpha) \left( (E_{\alpha})^{k} v_{\lambda} \right) $$
$\alpha \ne 0$이므로 $\lambda$, $\lambda + \alpha$, $\lambda + 2\alpha$, $\cdots$는 서로 다른 값이다. 그런데 서로 다른 고유값에 대응하는 고유벡터들은 서로 선형독립이고 $V$가 유한차원이므로 이러한 선형독립인 고유벡터들을 무한정 얻을 수는 없다. 다시 말해 모든 $k$에 대해서 $(E_{\alpha})^{k}v_{\lambda} \ne 0$이라면 $V$ 안에 선형독립인 벡터가 무한히 많다는 말이 되어 모순이다. 따라서 다음이 성립하는 양의 정수 $m$이 존재한다.
$$ (E_{\alpha})^{m} v_{\lambda} = 0 $$
이러한 $m$ 중에서 가장 작은 것을 택하자. 그러면 $w^{+} = (E_{\alpha})^{m-1}v_{\lambda}$는 $m$의 최소성에 의해 $0$이 아니면서 다음을 만족한다.
$$ E_{\alpha}w^{+} = (E_{\alpha})^{m} v_{\lambda} = 0, \qquad Hw^{+} = \left( \lambda + (m-1)\alpha \right) w^{+} $$
즉 사다리를 타고 건너가다 보면 더는 새로운 고유벡터로 넘어갈 수 없고 영벡터로 보내지는 마지막 고유벡터를 반드시 만난다. 앞 절에서 보았듯이 $\mathfrak{g}$가 반단순이면 $-\alpha$ 역시 $\ad_{H}$의 고유값이므로, 반대 방향의 연산자 $E_{-\alpha}$에 대해서도 같은 논법이 그대로 적용된다. 마찬가지로 $(E_{-\alpha})^{\ell} v_{\lambda} = 0$이 되는 가장 작은 양의 정수 $\ell$을 택하고 $w^{-} = (E_{-\alpha})^{\ell - 1} v_{\lambda}$라고 하자. 그러면 다음을 만족한다.
$$ E_{-\alpha}w^{-} = (E_{-\alpha})^{\ell} v_{\lambda} = 0, \qquad Hw^{-} = \left( \lambda - (\ell-1)\alpha \right) w^{-} $$
결국 $v_{\lambda}$에서 시작하여 $E_{\alpha}$ 또는 $E_{-\alpha}$를 각각 반복적용해 얻는 고유벡터들의 사다리는 양쪽에서 모두 끊기며, 그 양 끝의 벡터 $w^{+}$, $w^{-}$는 각각 $E_{\alpha}$와 $E_{-\alpha}$에 의해 $0$으로 보내진다.
$$ \begin{align*} &v_{\lambda} \xrightarrow{\ E_{\alpha}\ } E_{\alpha}v_{\lambda} \xrightarrow{\ E_{\alpha}\ } \cdots \xrightarrow{\ E_{\alpha}\ } w^{+} \xrightarrow{\ E_{\alpha}\ } 0 \\ 0 \xleftarrow{\ E_{-\alpha}\ } w^{-} \xleftarrow{\ E_{-\alpha}\ } \cdots \xleftarrow{\ E_{-\alpha}\ } E_{-\alpha}v_{\lambda} \xleftarrow{\ E_{-\alpha}\ }\enspace &v_{\lambda} \end{align*} $$