📂표현론

리 대수의 표현

정의¹

$\mathfrak{g}$를 리 대수, $V$를 벡터공간이라 하자. $\mathfrak{g}$로부터 일반선형리대수 $\mathfrak{gl}(V)$로의 리 대수 준동형사상 $\pi$를 $\mathfrak{g}$의 표현^{representation} 이라 한다.

$$ \pi : \mathfrak{g} \to \mathfrak{gl}(V) $$

• 이러한 $V$를 표현공간^{representation space}이라 한다.

설명

표현은 준동형사상으로 정의되기 때문에 $\mathfrak{g}$의 교환관계가 $\mathfrak{gl}(V)$로 보존된다.

$$ \pi \left( \left[ X, Y \right]_{\mathfrak{g}} \right) = \left[ \pi(X), \pi(Y) \right]_{\mathfrak{gl}(V)} $$

이는 구조상수가 보존된다는 말이기도 하다. $[X_{i}, X_{j}] = c_{ij}^{k}X_{k}$라고 하면 다음이 성립한다.

$$ [\pi(X_{i}), \pi(X_{j})] = c_{ij}^{k}\pi(X_{k}) $$

불변 표현

$V$의 부분공간 $W$가 다음을 만족하면 $\pi$-불변^{invariant under $\pi$}이라 한다.

$$ \pi(X) (W) \subset W, \quad \forall X \in \mathfrak{g} $$

$W$ 내의 모든 벡터는 어떠한 변환 $\pi(X)$에 대해서도 $W$ 밖으로 매핑되지 않는다는 의미이다.

기약 표현

벡터공간 $V$의 부분공간 $\left\{ \mathbf{0} \right\}$와 $V$는 어떤 변환에 대해서도 항상 불변하므로 이를 자명한^trivial 불변 부분공간이라 한다. 표현 $\pi : \mathfrak{g} \to \mathfrak{gl}(V)$가 자명한 불변 부분공간만을 가지면, 기약(약분불가능)^irreducible이라 한다.