📂선형대수

동시 대각화

정의¹

$V$를 유한차원의 벡터공간, $\mathcal{A}$를 $V$ 위의 선형 작용소들의 컬렉션이라 하자.

$$ \mathcal{A} = \left\{ A : V \to V \mid A \text{ is linear and }\right\} \subset \operatorname{End}(V) $$

$\mathcal{A}$의 동시 고유벡터 $v_{k}$로만 이루어진 $V$의 기저 $\left\{ v_{1}, \dots, v_{n} \right\}$이 존재하면, $\mathcal{A}$를 동시 대각화가능^{simultaneously diagonalizable}하다고 한다.

설명

$\mathcal{A}$가 동시 대각화가능하다는 것은 동시 고유벡터가 최소한 하나 존재한다는 것이고, 따라서 $\mathcal{A}$의 원소들은 서로 교환가능하다. 아래의 정리1은 역으로 각각이 대각화가능하고 서로 교환가능하면 동시대각화가능하다는 것을 말해준다. 정리2는 서로 다른 고유값을 가지는 고유벡터들이 선형독립이라는 명제의 확장이다.

$\mathcal{A}$가 벡터공간이면, $\mathcal{A}$가 동시 대각화가능하다는 것은 $V$가 $\mathcal{A}$의 웨이트 공간의 직합으로 분해될 수 있다는 것과 동치이다. 하나의 선형변환에 대해서도 대각화가능한 것이 고유공간들의 직합으로 표현되는 것과 동치이듯이 말이다.

$$ \mathcal{A} \text{ is simultaneously diagonalizable. } \iff V = E_{\mu_{1}} \oplus \cdots \oplus E_{\mu_{k}} $$

정리

• 정리1

  $\mathcal{A}$를 유한차원 벡터공간 $V$ 위의 선형작용소들의 컬렉션이라 하자. $\mathcal{A}$의 원소들이 서로 교환가능하고 각각이 대각화가능하면, $\mathcal{A}$는 동시대각화가능하다.

• 정리2

  $V$를 벡터공간, $\mathcal{A} \le \operatorname{End}(V)$를 $V$ 위의 선형작용소들의 벡터공간이라 하자. $\mu_{1}, \dots, \mu_{m}$을 서로 다른 $\mathcal{A}$의 웨이트, 그리고 $v_{1}, \dots, v_{m}$을 이에 대응되는 동시고유벡터라 하자. 그러면 $\left\{ v_{1}, \dots, v_{m} \right\}$는 선형독립이다.