📂선형대수

동시 고유벡터

정의¹

$V$를 벡터공간, $\mathcal{A}$를 $V$ 위의 선형 작용소들의 컬렉션이라 하자.

$$ \mathcal{A} = \left\{ A : V \to V \mid A \text{ is linear}\right\} \subset \operatorname{End}(V) $$

다음을 만족하는 영벡터가 아닌 $v \in V$를 $\mathcal{A}$에 대한 동시 고유벡터^{simultaneous eigenvector}라 한다.

$$ A v = \lambda_{A} v, \quad \forall A \in \mathcal{A} $$

$\lambda_{A}$들을 동시 고유값^{simultaneous eigenvalue}라 한다.

설명

동시 고유벡터는 이름 그대로 동시에 여러 선형작용소에 대해 고유벡터가 되는 벡터를 말한다. 대응되는 고유값은 작용소 $A$에 따라 다를 수 있다. 아래의 정리에 따라 유한차원 복소벡터공간 위에서 서로 교환가능한 작용소들은 동시 고유벡터를 가진다. 서로 교환가능하지 않은 작용소들은 대체로 동시 고유벡터를 갖지 않는다.

정리는 세 개의 작용소에 대해서 기술되어있지만, 더 일반적으로 서로 교환가능한 선형작용소들의 컬렉션 $\mathcal{A}$에 대해서도 같은 결론이 성립한다. 정리에서 유한차원 복소벡터공간이라는 조건 역시 각 작용소의 고유값이 존재함을 보장하기 위해 필요하다. 그리고 역이 성립한다. 즉 동시 고유벡터를 갖는 두 작용소는 교환가능하다. 이는 쉽게 보일 수 있는데, $A$와 $B$의 동시 고유벡터를 $v$라 하자.

$$ \begin{align*} (AB - BA)v &= (A \lambda_{B} - B\lambda_{A})v \\ &= (\lambda_{B}A - \lambda_{A}B)v \\ &= (\lambda_{B}\lambda_{A} - \lambda_{A}\lambda_{B})v \\ &= 0 \end{align*} $$

동시 고유값을 선형범함수로 확장한 것을 웨이트라 한다.

정리

$\left\{ 0 \right\}$이 아닌 유한차원 복소벡터공간 $V$와 $V$ 위의 선형작용소 $A$, $B$, $C$가 주어졌다고 하자. $A$, $B$, $C$가 서로 교환가능하면 $\mathcal{A} = \left\{ A, B, C \right\}$에 대한 동시 고유벡터가 최소 하나 존재한다.

증명

$A$, $B$, $C$가 서로 교환가능하다고 하자.

$$ [A, B] = AB - BA = 0 = [B, C] = [C, A] $$

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Part 1. $A$의 고유공간

$V$가 $\left\{ 0 \right\}$이 아닌 유한차원 복소벡터공간이므로 $A$의 특성 다항식은 차수가 $\dim V \ge 1$인 복소계수 다항식이고, 대수학의 기본정리에 의해 근을 갖는다. 그 근 중 하나를 $\lambda_{A} \in \mathbb{C}$라 하자. 특성 다항식의 근은 고유값이므로 $\lambda_{A}$는 $A$의 고유값이며, 이에 대응되는 $A$의 고유공간을 다음과 같이 두자.

$$ V_{A} := \left\{ v \in V : Av = \lambda_{A}v \right\} $$

$\lambda_{A}$가 고유값이므로 $V_{A} \ne \left\{ 0 \right\}$이고, $V_{A}$는 $V$의 부분공간이다.

Part 2. $V_{A}$는 $B$-불변, $C$-불변이다

$v \in V_{A}$라 하자. $A$와 $B$가 교환가능하므로 다음이 성립한다.

$$ \begin{align*} A(Bv) &= (AB)v \\ &= (BA)v \\ &= B(Av) \\ &= B(\lambda_{A}v) \\ &= \lambda_{A}(Bv) \end{align*} $$

$A(Bv) = \lambda_{A}(Bv)$이므로 $Bv \in V_{A}$이고, 따라서 $V_{A}$는 $B$-불변 부분공간이다. $A$와 $C$도 교환가능하므로 같은 계산에 의해 $V_{A}$는 $C$-불변이기도 하다.

Part 3. $B$의 고유공간으로 좁히기

$V_{A}$가 $B$-불변이므로 축소사상 $B|_{V_{A}} : V_{A} \to V_{A}$를 생각할 수 있다. $V_{A}$ 또한 $\left\{ 0 \right\}$이 아닌 유한차원 복소벡터공간이므로 Part 1과 같은 이유로 $B|_{V_{A}}$는 고유값 $\lambda_{B} \in \mathbb{C}$를 갖는다. 이에 대응되는 $B|_{V_{A}}$의 고유공간을 다음과 같이 두면 $V_{AB} \ne \left\{ 0 \right\}$이다.

$$ V_{AB} := \left\{ v \in V_{A} : Bv = \lambda_{B}v \right\} $$

$V_{AB}$는 $C$-불변이다. $v \in V_{AB}$라 하면 Part 2에 의해 $Cv \in V_{A}$이고, $B$와 $C$가 교환가능하므로 다음이 성립하기 때문이다.

$$ B(Cv) = (BC)v = (CB)v = C(Bv) = C(\lambda_{B}v) = \lambda_{B}(Cv) $$

따라서 $Cv \in V_{AB}$이다.

Part 4. 동시 고유벡터

$C|_{V_{AB}} : V_{AB} \to V_{AB}$ 역시 $\left\{ 0 \right\}$이 아닌 유한차원 복소벡터공간 위의 선형작용소이므로 Part 1과 같은 이유로 고유값 $\lambda_{C} \in \mathbb{C}$와 이에 대응되는 고유벡터 $v \ne 0$을 갖는다. $v \in V_{AB} \subset V_{A}$이므로 다음이 모두 성립한다.

$$ Av = \lambda_{A}v, \quad Bv = \lambda_{B}v, \quad Cv = \lambda_{C}v $$

즉 영벡터가 아닌 $v$는 $\mathcal{A} = \left\{ A, B, C \right\}$에 대한 동시 고유벡터이며, $\lambda_{A}$, $\lambda_{B}$, $\lambda_{C}$가 $v$에 대응되는 동시 고유값이다.

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