📂표현론

2차 특수 선형 리 대수 sl(2,C)

정의

대각합이 $0$인 $2 \times 2$ 복소 행렬들의 집합은 특수선형군 $\operatorname{SL}(2, \mathbb{C})$의 리 대수이다.

$$ \mathfrak{sl}(2, \mathbb{C}) = \left\{ A \in M_{2}(\mathbb{C}) : \trace(A) = 0 \right\} $$

설명

$\mathfrak{sl}(2, \mathbb{C})$는 특수선형 리대수 $\mathfrak{sl}(n, \mathbb{C})$에서 $n = 2$인 경우이며, $3$차원 $\mathbb{C}$-벡터공간이다. 2차 특수유니터리 리대수 $\mathfrak{su}(2)$의 복소화이기도 하다.

대수 구조¹

기저와 교환관계

$A \in \mathfrak{sl}(2, \mathbb{C})$의 조건을 통해 기저가 실제로 어떻게 생겼는지 찾아보자. 조건은 대각합이 $0$이라는 것만 있으므로 $a_{22} = -a_{11}$이다. 따라서 $\mathfrak{sl}(2)$의 원소는 복소수 $\alpha, \beta, \gamma$에 대해 다음과 같이 표현되므로 $\mathfrak{sl}(2, \mathbb{C})$는 3차원 $\mathbb{C}$-벡터공간이다.

$$ A = \begin{bmatrix} \alpha & \beta \\ \gamma & -\alpha \end{bmatrix} = \alpha \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{bmatrix} + \beta\begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} + \gamma\begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} $$

$$ H = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{bmatrix}, \quad X = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}, \quad Y = \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} $$

따라서 $\mathfrak{sl}(2, \mathbb{C})$의 기저는 $\left\{ H, X, Y \right\}$이고, 이들의 구조상수를 구해보면 다음과 같다.

$$ [H, X] = 2X, \quad [H, Y] = -2Y, \quad [X, Y] = H \tag{1} $$

표현공간의 양자화

유한차원 $\mathbb{C}$-벡터공간 $V$와 $\mathfrak{sl}(2, \mathbb{C})$에서 $V$로의 임의의 표현 $\pi$가 주어졌다고 하자.

$$ \pi : \mathfrak{sl}(2, \mathbb{C}) \to \operatorname{gl}(V) $$

표현은 준동형사상이므로 브라켓이 보존된다.

$$ \left[ \pi(H), \pi(X) \right] = \pi([H, X]) = 2\pi(X) $$

교환관계 $(1)$이 의미하는 것은 $\pi(X)$와 $\pi(Y)$가 사상 $\ad_{H}$의 고유벡터라는 것이다.

$$ \ad_{H}(X) = 2X, \quad \ad_{H}(Y) = -2Y $$

또한 $\pi(X)$와 $\pi(Y)$가 벡터공간 $V$ 위에서 $\pi(H)$에 대한 사다리 연산자임을 의미한다. $v \in V$를 고유값 $\lambda$에 대응하는 $\pi(H)$의 고유벡터라 하자. 그러면 다음이 성립한다.

$$ \begin{align*} \pi(H)(\pi(X)v) = \left( \pi(X)\pi(H) + 2\pi(X) \right)v = (\lambda + 2)\pi(X)v \\[1em] \pi(H)(\pi(Y)v) = \left( \pi(Y)\pi(H) - 2\pi(Y) \right)v = (\lambda - 2)\pi(Y)v \end{align*} \tag{2} $$

따라서 $\pi(X)$는 고유값 $\lambda$에 대응하는 고유벡터를 $\lambda+2$에 대응하는 고유벡터로 사상하는 상승 연산자, $\pi(Y)$는 그 반대로 작용하는 하강 연산자이다. 고유값 $\lambda$에 대응하는 고유공간을 $V_{\lambda}$로 표기하자.

$$ \pi(X) : V_{\lambda} \to V_{\lambda+2}, \quad \pi(Y) : V_{\lambda+2} \to V_{\lambda} $$

$\pi(H)$의 고유값들은 $\pi(X)$와 $\pi(Y)$에 의해서 모두 $2$씩 차이나도록 양자화 되어있다.

표현공간의 구조

$(2)$에 의해서 $\pi(H)\pi(X)^{k}v = (\lambda + 2k)\pi(X)^{k}v$가 성립한다. 이는 각 $k$에 대해서 $\pi(X)^{k}v$가 서로 다른 고유값인 $(\lambda + 2k)$에 대응되는 $\pi(H)$의 고유벡터라는 말이고, 이는 곧 $\left\{ \pi(X)^{k}v \right\}$가 선형독립임을 의미한다. $V$가 유한차원이기 때문에 선형독립인 고유벡터의 개수 또한 유한하다. 다시말해 다음을 만족하는 어떤 $N \ge 0$이 존재해야 한다.

$$ \pi(X)^{N}v \ne 0, \quad \pi(X)^{N+1}v = 0 $$

이제 $\pi(X)$로 인해 $0$이 되기 직전의 벡터를 $v_{0}$라 나타내자. 이는 고유값이 $\mu = \lambda + 2N$인 $\pi(H)$의 고유벡터이다.

$$ \begin{align*} v_{0} &= \pi(X)^{N}v \\ \pi(H) v_{0} &= \mu v_{0} \\ \pi(X) v_{0} &= 0 \\ \end{align*} $$

$v_{k} = \pi(Y)^{k}v_{0}$라고 하자. $(2)$에 의해 다음을 얻는다.

$$ \pi(H) v_{k} = \pi(H)(\pi(Y)^{k}v_{0}) = (\mu - 2k)(\pi(Y)^{k}v_{0}) = (\mu - 2k) v_{k} $$

그리고 다음의 점화식을 얻을 수 있다.

$$ \begin{align*} \pi(X) v_{1} &= \pi(X)\pi(Y) v_{0} = \left[ \pi(Y)\pi(X) + \pi(H) \right] v_{0} \\ &= \mu v_{0} \\ &= 1(\mu - 0) v_{0} \\ & \\ \pi(X) v_{2} &= \pi(X)\pi(Y)\pi(Y) v_{0} = \left[ \pi(Y)\pi(X) + \pi(H) \right]\pi(Y) v_{0} \\ &= \left[ \pi(Y)\pi(X)\pi(Y) + \pi(H)\pi(Y) \right] v_{0} \\ &= \left[ \pi(Y)\pi(Y)\pi(X) + \pi(Y)\pi(H) + \pi(H)\pi(Y) \right] v_{0} \\ &= \left[ \mu + (\mu - 2) \right]\pi(Y)v_{0} \\ &= 2(\mu - 1) v_{1} \end{align*} $$

$$ \begin{align*} \pi(X) v_{3} &= \pi(X)\pi(Y)\pi(Y)\pi(Y) v_{0} = \left[ \pi(Y)\pi(X) + \pi(H) \right]\pi(Y)\pi(Y) v_{0} \\ &= \left[ \pi(Y)\pi(X)\pi(Y)\pi(Y) + \pi(H)\pi(Y)\pi(Y) \right] v_{0} \\ &= \left[ \pi(Y)\left( \pi(Y)\pi(X) + \pi(H) \right)\pi(Y) + \pi(H)\pi(Y)\pi(Y) \right] v_{0} \\ &= \left[ \pi(Y)\pi(Y)\pi(X)\pi(Y) + \pi(Y)\pi(H)\pi(Y) + \pi(H)\pi(Y)\pi(Y) \right] v_{0} \\ &= \left[ \pi(Y)\pi(Y)\pi(Y)\pi(X) + \pi(Y)\pi(Y)\pi(H) + \pi(Y)\pi(H)\pi(Y) + \pi(H)\pi(Y)\pi(Y) \right] v_{0} \\ &= \left[ \mu + (\mu - 2) + (\mu - 4) \right] \pi(Y)\pi(Y)v_{0} \\ &= 3(\mu - 2) v_{2} \\ & \qquad \vdots \end{align*} $$

$$ \pi(X)v_{k} = k(\mu - (k-1))v_{k-1} \quad (k \ge 1) \tag{3} $$

그리고 $\pi(X)$의 경우와 같은 이유로 다음을 만족하는 어떤 $m \ge 0$이 존재해야한다.

$$ v_{m} = \pi(Y)^{m}v_{0} \ne 0, \quad v_{m+1} = \pi(Y)^{m+1}v_{0} = 0 $$

그러면 $\pi(X) v_{m+1} = 0$이고, 점화식 $(3)$에 의해 다음을 얻는다.

$$ \pi(X) v_{m+1} = (m+1)(\mu - m)v_{m} = 0 \\[1em] $$

이는 $\pi(X)$로 인해 영벡터가 되기 직전 마지막 고유벡터의 고유값인 $\mu$가 어떤 양의 정수 $m$임을 의미한다. 이제 위 결과들을 종합하면 표현 $\pi$에 대해서 고유벡터 $v_{0}$, $\dots$, $v_{m}$이 존재하여 다음이 성립한다.

$$ \begin{align*} \pi(H) v_{k} &= (m -2k)v_{k} \\ \pi(Y) v_{k} &= \begin{cases} v_{k+1} & k \lt m \\ 0 & k = m \end{cases} \\ \pi(X)v_{k} &= \begin{cases} k(m - (k-1))v_{k-1} & k \gt 0 \\ 0 & k = 0 \end{cases} \end{align*} \tag{4} $$

이들의 고유값이 서로 다르므로 $\left\{ v_{k} \right\}$는 선형독립이다. $(4)$에 의해서 $W = \span\left\{ v_{0}, \dots, v_{m} \right\}$은 $\pi(H)$, $\pi(X)$, $\pi(Y)$에 대해 불변 부분공간 이다. 또한 $\left\{ H, X, Y \right\}$가 $\mathfrak{sl}(2, \mathbb{C})$의 기저였으므로, 임의의 연산자 $\pi(Z)$ $(Z \in \mathfrak{sl}(2, \mathbb{C}))$에 대해서도 $W$는 불변이다. 여기서 $\pi$가 기약표현이면 비자명한 불변부분공간을 가지지 않으므로 $W = V$이고 $\left\{ v_{k} \right\}$는 $V$의 기저가 된다. 또한 $V$는 유한차원인 것으로만 정의했지만, $m+1$이 $V$의 차원이라는 것도 알게된다.

$$ V = \span \left\{ v_{0}, \dots, v_{m} \right\} \text{ and } \quad \dim V = m+1, \quad \text{if $\pi$ is irreducible} $$

거꾸로 $\pi(H)$, $\pi(X)$, $\pi(Y)$를 $(4)$를 만족하도록 정의하면, 교환관계 $(1)$을 만족하고 $\pi$는 $\mathfrak{sl}(2, \mathbb{C})$의 기약 표현이 된다.

또한 $\pi$와 다른 표현 $\pi^{\prime}$을 가져오더라도, $\pi^{\prime}$은 위와 같은 논리로 $(4)$를 만족하고, $\pi$와 $\pi^{\prime}$은 동형이다.

성질

(a) $\mathfrak{sl}(2, \mathbb{C})$는 $\mathfrak{su}(2)$의 복소화이다. $$ \mathfrak{su}(2)_{\mathbb{C}} \cong \mathfrak{sl}(2, \mathbb{C}) $$

(b) $\mathfrak{sl}(2, \mathbb{C})$의 기약표현이 존재한다.

(c) $\pi(H)$의 모든 고유값은 정수이다. 또한 정수 $k$가 $\pi(H)$의 고유값이면, 아래의 것들도 모두 고유값이다.

$$ -|k|, -|k|+2, \dots, |k|-2, |k| $$

(d) 오퍼레이터 $\pi(X)$와 $\pi(Y)$는 멱영 변환이다.