📂표현론

보편 성질로 정의되는 벡터공간의 텐서곱

정의¹

$U$, $V$가 유한차원 벡터공간이라고 하자. $U$와 $V$의 텐서곱^{tensor product}이란 쌍선형사상^{bilinear map} $\phi : U \times V \to W$와 함께 주어진 벡터공간 $W$, 즉 다음 성질을 만족하는 순서쌍 $(W, \phi)$를 말한다.

• 임의의 벡터공간 $X$와 임의의 쌍선형사상 $\psi : U \times V \to X$에 대해, 다음을 만족하는 선형사상 $\tilde{\psi} : W \to X$가 유일하게 존재한다.

  $$ \tilde{\psi} \circ \phi = \psi $$

  $$ \begin{matrix} U \times V & \overset{\phi}{\longrightarrow} & W \\ \psi \searrow & & \swarrow \tilde{\psi} \\ & X & \end{matrix} $$

즉, 쉽게 말해서 고정된 $\phi$에 대해서, 어떤 $(X, \psi)$가 주어져도 $\tilde{\psi} \circ \phi = \psi$가 되도록하는 선형사상 $\tilde{\psi}$가 하나씩만 존재하도록 하는 $(W, \phi)$가 $U$와 $V$의 텐서곱이다. 흔히 벡터 곱이라 하면 위 정의를 만족하는 벡터공간 $W$를 말하며, (실제로 유일하기 때문에) 아래와 같이 표기한다.

$$ W = U \otimes V $$

설명

위 정의는 어떤 특정한 공간 하나를 말하는 것이 아니라, 주어진 쌍 $(W, \phi)$가 텐서곱이 될 규칙을 정의한 것이다. 이런식으로 정의하고자 하는 대상의 구체적인 구조가 아니라, 사상들과의 관계로만 설명하는 조건을 보편 성질^{universal property}이라 한다.

두 벡터공간 $U$와 $V$의 벡터를 "곱해서" 새로운 벡터를 만들고 싶다고 하자. 곱이라는 이름을 붙일 만하려면 최소한 분배법칙이 성립해야 하고 스칼라는 곱 밖으로 빠져나올 수 있어야 한다. 한쪽 변수를 고정해 두고 보면 나머지 한 변수에 대해 선형이어야 한다는 뜻이고, 그런 사상이 바로 쌍선형사상이다. 그러한 사상 $\psi$는 얼마든지 만들 수 있을텐데, 모든 $\psi$가 고정된 $\phi$에 대해서 $\psi = \tilde{\psi} \circ \phi$의 형태로 분해될 수 있다면, $\phi$는 $U \times V$ 위에서 정의되는 쌍선형사상의 어떤 근본적인 것이라 부를 수 있을 것이다. 아래의 정리에 의해서 이러한 텐서곱 $\phi$의 존재성과 유일성이 보장된다.

구성적 정의

텐서곱은 위와 같이 보편성질을 만족하는 대상으로서 정의될 수도 있고, 구체적인 구조를 제시함으로서 정의될 수도 있다. 그 구조는 유한집합 $\Gamma_{1}$, $\Gamma_{2}$에 대해 곱집합으로부터 구성된 함수공간이며, 이 또한 텐서곱이라 부른다.

$$ \mathbb{C}^{\Gamma_{1}} \otimes \mathbb{C}^{\Gamma_{2}} := \mathbb{C}^{\Gamma_{1} \times \Gamma_{2}} $$

정리

$U$, $V$가 유한차원 벡터공간이라고 하자.

(a) 존재성: $U$와 $V$의 텐서곱 $(W, \phi)$가 존재한다.

(b) 유일성: $U$와 $V$의 텐서곱은 유일하다. 즉 $(W_{1}, \phi_{1})$과 $(W_{2}, \phi_{2})$가 둘 다 $U$와 $V$의 텐서곱이면, 다음을 만족하는 동형사상 $\Phi : W_{1} \to W_{2}$가 유일하게 존재한다.

$$ \Phi \circ \phi_{1} = \phi_{2} $$

(c) 기저와 차원: $(W, \phi)$가 $U$와 $V$의 텐서곱이고 $\left\{ e_{1}, \dots, e_{n} \right\}$이 $U$의 기저, $\left\{ f_{1}, \dots, f_{m} \right\}$이 $V$의 기저이면, 다음 집합은 $W$의 기저이다.

$$ \left\{ \phi(e_{j}, f_{k}) : 1 \le j \le n, 1 \le k \le m \right\} $$

따라서 텐서곱의 차원은 다음과 같다.

$$ \dim (U \otimes V) = \dim(U) \times \dim(V) $$

흔히 $\phi (e_{j}, f_{k})$를 $e_{j} \otimes f_{k}$로 표기한다.