벡터공간의 복소화
도입
유한차원 $\mathbb{R}$-벡터공간 $V$와 이 위의 선형 연산자 $A : V \to V$가 주어졌다고 하자. $A$의 작용이 상수배로 가장 단순해지는 방향, 다시 말해 다음을 만족하는 스칼라 $\lambda$와 $\mathbf{x} \ne \mathbf{0}$을 찾는 것은 고유값 문제이다.
$$ A \mathbf{x} = \lambda \mathbf{x} $$
이때 $V$가 유한차원이므로 $A$는 행렬 $\left[ A \right]$ 에 대응되는데, 스칼라 체가 실수이므로 실수를 성분으로 갖는다. 행렬 $[ A ]$의 고유값은 특성다항식을 풀어서 얻을 수 있는데, $[ A ]$가 실수만을 성분으로 가지므로, 특성다항식은 실수계수 다항식이 된다. 하지만 실수체는 대수적으로 닫혀있지 않기 때문에 특성다항식의 근이 실수에서 존재하지 않는, 다시 말해 실수 내에서 고유값을 구할 수 없는 경우가 존재한다. 이는 대각화를 할 수 없다는 의미이고, 고유값 분해나 스펙트럼 분석과 같은 도구를 실수체 위에서는 온전히 쓸 수 없음을 의미한다. 실수체의 확대체는 복소수체이므로, 스칼라체를 복소수체로 넓히기만 하면 모든 고유값과 고유벡터를 얻을 수 있다. 이를 벡터공간 전체에 대해 구현한 것을 복소화라 한다.
정의
유한차원 $\mathbb{R}$-벡터공간 $V$와 2차원 $\mathbb{R}$-벡터공간 $\mathbb{C}$에 대해서, $V$의 복소화complexification $V_{\mathbb{C}}$를 아래와 같이 정의한다.
$$ V_{\mathbb{C}} := V \otimes_{\mathbb{R}} \mathbb{C} $$
이때 $\otimes_{\mathbb{R}}$는 $V$와 $\mathbb{C}$를 $\mathbb{R}$-벡터공간으로본 텐서곱이다. $\mathbb{C}$를 $\mathbb{R}$-벡터공간으로 보면 $2$차원이므로, $V \otimes_{\mathbb{R}} \mathbb{C}$는 차원이 $2 \dim V$인 $\mathbb{R}$-벡터공간이다. 여기에 복소수 스칼라곱을 아래와 같이 주면 $\mathbb{C}$-벡터공간이 된다.
$$ \alpha \cdot (\mathbf{v} \otimes z) := \mathbf{v} \otimes (\alpha z), \qquad \alpha, z \in \mathbb{C} $$
쉬운 정의
유한차원 $\mathbb{R}$-벡터공간 $V$에 대해서, 다음의 집합을 $V$의 복소화complexification $V_{\mathbb{C}}$라 한다.
$$ V_{\mathbb{C}} = \left\{ \mathbf{v} + i\mathbf{w} : \mathbf{v}, \mathbf{w} \in V \right\} $$
덧셈과 스칼라곱은 각각 다음과 같이 정의한다.
$$ (\mathbf{v}_{1} + i\mathbf{w}_{1}) + (\mathbf{v}_{2} + i\mathbf{w}_{2}) := (\mathbf{v}_{1} + \mathbf{v}_{2}) + i(\mathbf{w}_{1} + \mathbf{w}_{2}) $$
$$ (a + bi)(\mathbf{v} + i\mathbf{w}) := (a\mathbf{v} - b\mathbf{w}) + i(a\mathbf{w} + b\mathbf{v}) $$
여기서 $\mathbf{v} + i\mathbf{w}$의 $i$는 두 벡터를 나란히 적기 위한 형식적인 기호일 뿐이고, 스칼라곱은 이 기호에 대해 $i^{2} = -1$이 성립하도록 정의한 것이다.
설명
두 정의는 같은 공간을 말한다. $\mathbb{C}$의 $\mathbb{R}$-기저가 $\left\{ 1, i \right\}$이므로 $V \otimes_{\mathbb{R}} \mathbb{C}$의 원소는 모두 $\mathbf{v} \otimes 1$ 꼴과 $\mathbf{v} \otimes i$ 꼴의 합으로 적히는데, 이를 다음과 같이 대응시키면 된다.
$$ \mathbf{v} \otimes 1 \longleftrightarrow \mathbf{v} + i\mathbf{0}, \qquad \mathbf{v} \otimes i \longleftrightarrow \mathbf{0} + i\mathbf{v} $$
일반적으로는 아래와 같이 대응된다.
$$ \mathbf{v} \otimes (a + bi) \longleftrightarrow a\mathbf{v} + i(b\mathbf{v}) $$
차원
$\left\{ \mathbf{e}_{1}, \dots, \mathbf{e}_{n} \right\}$이 $V$의 $\mathbb{R}$-기저라고 하자. $\mathbf{v} = \sum_{k} a_{k}\mathbf{e}_{k}$, $\mathbf{w} = \sum_{k} b_{k}\mathbf{e}_{k}$이면 $V_{\mathbb{C}}$의 원소는 아래와 같이 유일하게 표현된다.
$$ \mathbf{v} + i\mathbf{w} = \sum_{k=1}^{n} (a_{k} + i b_{k}) \mathbf{e}_{k} $$
즉 $V$의 실기저가 그대로 $V_{\mathbb{C}}$의 복소기저가 되므로 다음이 성립한다.
$$ \dim_{\mathbb{C}} V_{\mathbb{C}} = \dim_{\mathbb{R}} V = n, \qquad \dim_{\mathbb{R}} V_{\mathbb{C}} = 2n $$
선형연산자의 복소화
$\mathbb{R}$-선형변환 $A : V \to V$에 대해 아래와 같이 정의되는 $A_{\mathbb{C}} : V_{\mathbb{C}} \to V_{\mathbb{C}}$를 $A$의 복소화라 한다.
$$ A_{\mathbb{C}}(\mathbf{v} + i\mathbf{w}) := A\mathbf{v} + i(A\mathbf{w}) $$
$A_{\mathbb{C}}$가 $\mathbb{C}$-선형이라는 것은 정의를 따라 그대로 확인된다. 그런데 $V$의 실기저 $\left\{ \mathbf{e}_{1}, \dots, \mathbf{e}_{n} \right\}$을 그대로 $V_{\mathbb{C}}$의 복소기저로 쓰면 $A_{\mathbb{C}}\mathbf{e}_{k} = A\mathbf{e}_{k}$이므로, 이 기저에 대한 행렬표현이 $A$의 것과 같다.
$$ \left[ A_{\mathbb{C}} \right] = \left[ A \right] $$
따라서 두 연산자의 특성다항식도 같다. 달라지는 것은 그 다항식을 어느 체에서 푸느냐뿐인데, 이제는 대수학의 기본정리에 의해 근이 항상 존재하므로 $A_{\mathbb{C}}$는 언제나 고유값을 갖는다.
특성다항식이 실계수이므로 실수가 아닌 고유값은 켤레쌍으로 나온다. 고유벡터도 마찬가지인데, $A_{\mathbb{C}}$가 켤레와 교환하므로 $A_{\mathbb{C}}\mathbf{z} = \lambda\mathbf{z}$의 양변에 켤레를 취하면 다음을 얻기 때문이다.
$$ A_{\mathbb{C}}\overline{\mathbf{z}} = \overline{A_{\mathbb{C}}\mathbf{z}} = \overline{\lambda\mathbf{z}} = \overline{\lambda}\overline{\mathbf{z}} $$