벡터공간으로서의 복소수 집합
설명
복소수 집합 $\mathbb{C}$는 그 자체로 체이고, 자기자신을 스칼라체로 갖는 $\mathbb{C}$-벡터공간이 된다. 즉 모든 $z \in \mathbb{C}$에 대해서 $z = z \cdot 1$과 같이 유일하게 표현할 수 있으므로 기저가 $\left\{ 1 \right\}$인 $1$차원 벡터공간이다.
$$ \dim_{\mathbb{C}}(\mathbb{C}) = 1,\quad \mathbb{C} = \span_{\mathbb{C}} \left\{ 1 \right\} $$
그런데 스칼라체를 실수 $\mathbb{R}$로 두면 결과가 달라진다. 모든 $z$를 두 실수 $x, y \in \mathbb{R}$에 대해 $z = x + iy$로 유일하게 표현할 수 있다. 따라서 이 경우엔 $\mathbb{C}$를 생성하는 기저는 $\left\{ 1, i \right\}$가 된다.
$$ \dim_{\mathbb{R}}(\mathbb{C}) = 2,\quad \mathbb{C} = \span_{\mathbb{R}} \left\{ 1, i \right\} $$
이처럼 같은 집합이라도 어떤 스칼라체 위에서 보느냐에 따라 벡터공간의 구조가 달라질 수 있다. 스칼라체를 $\mathbb{C}$에서 $\mathbb{R}$로 바꿀 때 기저의 크기가 $1$에서 $2$로 늘어난 것은 없던 원소가 새로 생겼기 때문이 아니다. 집합 $\mathbb{C}$는 그대로이고, 같은 두 원소 $1$과 $i$에 대한 선형독립성 판정이 스칼라체에 따라 뒤집혔을 뿐이다. $i = i \cdot 1$이므로 $\left\{ 1, i \right\}$는 $\mathbb{C}$ 위에서 선형종속이지만, $a, b \in \mathbb{R}$에 대해 $a \cdot 1 + b \cdot i = 0$이면 $a = b = 0$이므로 $\mathbb{R}$ 위에서는 선형독립이다. 선형독립 여부 자체가 스칼라체에 의존한다는 셈이다.
차원을 늘려 $\mathbb{C}^{2}$를 보면 아래와 같은 차이가 난다.
$$ \dim_{\mathbb{C}}(\mathbb{C}^{2}) = 2,\quad \mathbb{C}^{2} = \span_{\mathbb{C}} \left\{ (1,0), (0,1) \right\} $$
$$ \dim_{\mathbb{R}}(\mathbb{C}^{2}) = 4,\quad \mathbb{C}^{2} = \span_{\mathbb{R}} \left\{ (1,0), (i,0), (0,1), (0,i) \right\} $$
일반적으로 보면 $n$차원 실벡터공간은 $\mathbb{R}^{n}$과 동형이므로, $\mathbb{R}$-벡터공간으로서의 $\mathbb{C}^{n}$에 대해서 다음의 결과를 얻는다.
$$ \mathbb{C}^{n} \cong \mathbb{R}^{2n} $$
부분공간
$\mathbb{C}$-벡터공간으로서의 $\mathbb{C}$는 $1$차원이므로 그 부분공간은 $\left\{ 0 \right\}$과 $\mathbb{C}$ 자신뿐이다. 실수집합은 부분공간이 될 것 같지만 그렇지않다. $i \cdot 1 = i \notin \mathbb{R}$이므로 $\mathbb{R}$은 복소수곱에 대해서는 닫혀 있지 않아 $\mathbb{C}$-부분공간이 아니다.
반면 $\mathbb{R}$-벡터공간으로 보면 아래와 같은 $z_{0} \ne 0$에 대해 원점을 지나는 직선 하나하나가 모두 $1$차원 $\mathbb{R}$-부분공간이 된다.
$$ \mathbb{R}z_{0} = \left\{ t z_{0} : t \in \mathbb{R} \right\} \subset \mathbb{C}, \quad \forall z_{0} \in \mathbb{C} $$
이처럼 $\mathbb{C}$의 $\mathbb{R}$-부분공간은 $\left\{ 0 \right\}$, ($\mathbb{R}$을 포함하여)원점을 지나는 직선들, $\mathbb{C}$ 자신으로 무수히 많다. 따라서 $\mathbb{C}$의 부분공간으로서의 $\mathbb{R}$을 말한다는 것은, 스칼라체를 실수집합으로 두는 것을 가정한다는 의미이다.