📂표현론

특수 직교 리 대수

정의¹

$X^{\mathsf{T}} = - X$를 만족하는 모든 $n \times n$ 실수 행렬들의 집합은 직교군 $\operatorname{O}(n)$과 특수직교군 $\operatorname{SO}(n)$의 리대수이다.

$$ \mathfrak{so}(n) = \mathfrak{o}(n) = \left\{ X \in M_{n}(\mathbb{R}) : X^{\mathsf{T}} = - X \right\} $$

여기서 $X^{\mathsf{T}}$는 $X$의 전치행렬을 의미한다. 성질 $X^{\mathsf{T}} = - X$를 반대칭^{anti-symmetric}이라 한다.

설명

위 내용은 정의이기도 정리이기도 하다. 행렬 리군 리대수의 정의에 따라 $\operatorname{O}$와 $\operatorname{SO}$의 리 대수의 정의는 각각 다음과 같다.

$$ \begin{align*} \mathfrak{o} &= \left\{ X : e^{tX} \in \operatorname{O} \text{ for all } t \in \mathbb{R} \right\} \\ \mathfrak{so} &= \left\{ X : e^{tX} \in \operatorname{SO} \text{ for all } t \in \mathbb{R} \right\} \end{align*} $$

정의에서 말하는 것은 모든 반대칭행렬의 집합이 $\mathfrak{o}$와 $\mathfrak{so}$가 되어 이 둘이 서로 같다는 것이다. 표기법으로는 $\mathfrak{so}(n)$을 더 흔히 사용한다.

$$ \mathfrak{so}(n) = \mathfrak{o}(n) $$

증명

• $e^{tX}$가 직교행렬이면, $X$가 반대칭이다.

  우선 $e^{tX}$가 직교행렬이라 하자. 그러면 직교행렬의 정의와 행렬지수의 성질에 의해 다음이 성립한다.

  $$ (e^{tX})^{\mathsf{T}} = (e^{tX})^{-1} = e^{-tX} $$

  또한 마찬가지로 행렬지수의 성질에 의해 다음이 성립한다.

  $$ (e^{tX})^{\mathsf{T}} = e^{tX^{\mathsf{T}}} $$

  따라서 $X^{\mathsf{T}} = -X$가 성립한다.

• $X$가 반대칭이면, $e^{tX}$가 직교행렬이다.

  반대로 $X^{\mathsf{T}} = -X$라 가정하자. 그러면 다음이 성립한다.

  $$ \begin{align*} && e^{tX^{\mathsf{T}}} &= e^{-tX} \\ \implies && (e^{tX})^{\mathsf{T}} &= (e^{tX})^{-1} \\ \implies && (e^{tX})^{\mathsf{T}} (e^{tX}) &= I \\ \implies && e^{tX} &\text{ is unitary} \end{align*} $$

여기까지 반대칭행렬들의 집합이 $\frak{o}(n)$임을 보였다. 그런데 반대칭행렬은 그 정의에 따라 대각성분이 전부 $0$이다. 즉 대각합이 $0$이라는 것인데, 이는 대응되는 리 군의 조건에 "행렬식이 $1$인 행렬"이 포함된다는 것이므로 반대칭행렬들의 집합은 $\operatorname{SO}(n)$의 리 대수이기도 하다.

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