📂표현론

2차 특수 유니터리 리 대수 su(2)

정의¹

대각합이 $0$이고 $X^{\ast} = - X$인 모든 $2 \times 2$ 복소 행렬들의 집합은 특수유니터리군 $\operatorname{SU}(2)$의 리대수이다.

$$ \mathfrak{su}(2) = \left\{ X \in M_{2}(\mathbb{C}) : \trace(X) = 0 \text{ and } X^{\ast} = - X \right\} $$

여기서 $X^{\ast}$는 $X$의 켤레전치행렬을 의미한다. 성질 $X^{\ast} = - X$를 반 에르미트^{skew-Hermitian}라 한다.

설명

$\mathfrak{su}(2)$는 특수 유니터리 리 대수 $\mathfrak{su}(n)$에서 $n = 2$인 경우이며, $3$차원 $\mathbb{R}$-벡터공간이다. 복소 행렬들의 집합이지만, 체가 실수인 실수벡터공간이라는 것에 유의하라. 반-에르미트행렬에 $i$를 곱하면 다음과 같이 에르미트 행렬이 되므로 스칼라곱은 실수체 $\mathbb{R}$에서만 허용된다. $X$를 반-에르미트 행렬이라고 하자.

$$ (iX)^{\ast} = \overline{i} X^{\ast} = (-i)(-X) = iX $$

대수구조

기저와 교환 관계

$X \in \mathfrak{su}(2)$의 조건을 통해 기저가 실제로 어떻게 생겼는지 찾아보자. 반-에르미트 조건 $X^{\ast} = -X$로부터 대각성분이 순허수여야함을 알 수 있다. 또한 $x_{21} = -\overline{x_{12}}$여야하고, 대각합이 $0$이여야 하므로 $x_{22} = -x_{11}$이다. 따라서 $\mathfrak{su}(2)$의 원소는 실수 $a, b, c$에 대해 다음과 같이 표현된다.

$$ X = \begin{bmatrix} ia & b + ic \\ -b + ic & -ia \end{bmatrix} $$

그러므로 $\dim \mathfrak{su}(2) = 3$이고, 위 식은 다시 자연스럽게 아래와 같이 분해된다.

$$ \begin{align*} &\begin{bmatrix} ia & b + ic \\ -b + ic & -ia \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} 0 & b + ic \\ -b + ic & 0 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} ia & 0 \\ 0 & -ia \end{bmatrix} \\ &= c\begin{bmatrix} 0 & i \\ i & 0 \end{bmatrix} + b\begin{bmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{bmatrix} + a\begin{bmatrix} i & 0 \\ 0 & -i \end{bmatrix} \end{align*} $$

따라서 아래와 같은 행렬들로 구성된 $\left\{ E_{1}, E_{2}, E_{3} \right\}$를 $\mathfrak{su}(2)$의 기저로 둘 수 있다.

$$ E_{1} = -\frac{i}{2}\begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}, \qquad E_{2} = -\frac{i}{2}\begin{bmatrix} 0 & -i \\ i & 0 \end{bmatrix}, \qquad E_{3} = -\frac{i}{2}\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{bmatrix} \tag{1} $$

여기서 상수를 $a = b = c = -\frac{1}{2}$로 두었는데, 아래와 같이 브라켓 결과와 구조상수가 깔끔하게 떨어진다.

$$ [E_{1}, E_{2}] = E_{3}, \qquad [E_{2}, E_{3}] = E_{1}, \qquad [E_{3}, E_{1}] = E_{2} $$

위 계산 결과는 이 기저에 대한 구조상수가 레비-치비타 심볼 $\epsilon_{jk\ell}$이라는 말과 같다.

$$ [E_{j}, E_{k}] = \sum_{\ell=1}^{3} \epsilon_{jk\ell} E_{\ell} $$

파울리 행렬

한편 $(1)$에서 나타나는 행렬들에는 🔒(26/10/16)파울리 행렬 이라는 특별한 이름이 있다.

$$ \sigma_{1} = \sigma_{x} = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}, \qquad \sigma_{2} = \sigma_{y} = \begin{bmatrix} 0 & -i \\ i & 0 \end{bmatrix}, \qquad \sigma_{3} = \sigma_{z} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{bmatrix} $$

파울리행렬은 에르미트행렬이기 때문에 여기에 복소수 $i$를 곱한 행렬은 반-에르미트 행렬이 된다.

$$ E_{1} = -\dfrac{i}{2}\sigma_{1},\quad E_{2} = -\dfrac{i}{2}\sigma_{2},\quad E_{3} = -\dfrac{i}{2}\sigma_{3} $$

따라서 대각합이 $0$인 $2 \times 2$ 에르미트 행렬은 모두 파울리 행렬들의 실선형결합이므로, $\mathfrak{su}(2)$는 다음과 같이도 적을 수 있다.

$$ \mathfrak{su}(2) = \left\{ i(a_{1}\sigma_{1} + a_{2}\sigma_{2} + a_{3}\sigma_{3}) : a_{1}, a_{2}, a_{3} \in \mathbb{R} \right\} $$

같이보기

• 특수 유니터리 리 대수
• 특수 선형 리 대수
• 특수 유니터리 군