📂표현론

유니터리 리 대수

정의¹

$X^{\ast} = - X$를 만족하는 모든 $n \times n$ 복소 행렬들의 집합은 유니터리군 $\operatorname{U}(n)$의 리대수이다.

$$ \mathfrak{u}(n) = \left\{ X \in M_{n}(\mathbb{C}) : X^{\ast} = - X \right\} $$

여기서 $X^{\ast}$는 $X$의 켤레전치행렬을 의미한다. 성질 $X^{\ast} = - X$를 반 에르미트^{skew-Hermitian}라 한다.

설명

위 내용은 정의이기도 정리이기도 하다. 행렬 리군 리대수의 정의에 따라 $\operatorname{U}$의 리 대수의 정의는 다음과 같다.

$$ \begin{align*} \mathfrak{u} &= \left\{ X : e^{tX} \in \operatorname{U} \text{ for all } t \in \mathbb{R} \right\} \\ &= \left\{ X : (e^{tX})^{\ast}(e^{tX}) = I \text{ for all } t \in \mathbb{R} \right\} \\ \end{align*} $$

정의에서 말하는 것은 대각합이 $0$인 반 에르미트 행렬을 모두 모으면 이것이 $\mathfrak{su}$가 된다는 것이다.

증명

• $e^{tX}$가 유니터리이면, $X$가 반-에르미트이다.

  우선 $e^{tX}$가 유니터리 행렬이라 하자. 그러면 행렬지수의 성질과 유니터리 행렬의 정의에 의해 다음이 성립한다.

  $$ (e^{tX})^{\ast} = (e^{tX})^{-1} = e^{-tX} $$

  또한 마찬가지로 행렬지수의 성질에 의해 다음이 성립한다.

  $$ (e^{tX})^{\ast} = e^{tX^{\ast}} $$

  따라서 $-X = X^{\ast}$가 성립한다.

• $X$가 반-에르미트이면, $e^{tX}$가 유니터리이다.

  반대로 $-X = X^{\ast}$라 가정하자. 그러면 다음이 성립한다.

  $$ \begin{align*} && e^{tX^{\ast}} &= e^{-tX} \\ \implies && (e^{tX})^{\ast} &= (e^{tX})^{-1} \\ \implies && (e^{tX})^{\ast} (e^{tX}) &= I \\ \implies && e^{tX} &\text{ is unitary} \end{align*} $$

■