📂표현론

특수 유니터리 리 대수

정의¹

대각합이 $0$이고 $X^{\ast} = - X$인 모든 $n \times n$ 복소 행렬들의 집합은 특수유니터리군 $\operatorname{SU}(n)$의 리대수이다.

$$ \mathfrak{su}(n) = \left\{ X \in M_{n}(\mathbb{C}) : \trace(X) = 0 \text{ and } X^{\ast} = - X \right\} $$

여기서 $X^{\ast}$는 $X$의 켤레전치행렬을 의미한다. 성질 $X^{\ast} = - X$를 반 에르미트^{skew-Hermitian}라 한다.

설명

위 내용은 정의이기도 정리이기도 하다. 행렬 리군 리대수의 정의에 따라 $\operatorname{SU}$의 리 대수의 정의는 다음과 같다.

$$ \begin{align*} \mathfrak{su} &= \left\{ X : e^{tX} \in \operatorname{SU} \text{ for all } t \in \mathbb{R} \right\} \\ &= \left\{ X : (e^{tX})^{\ast}(e^{tX}) = I \text{ and } \det(e^{tX})=1 \text{ for all } t \in \mathbb{R} \right\} \\ \end{align*} $$

정의에서 말하는 것은 대각합이 $0$인 반 에르미트 행렬을 모두 모으면 이것이 $\mathfrak{su}$가 된다는 것이다.

한편 $\mathfrak{su}(n)$은 복소행렬들의 집합이지만, $(n^{2}-1)$차원 $\mathbb{R}$-벡터공간임에 유의하라. 반-에르미트행렬에 복소수 $i$를 곱하면 다음과 같이 에르미트 행렬이 되므로 스칼라곱은 실수체 $\mathbb{R}$에서만 허용된다. $X$를 반-에르미트 행렬이라고 하자.

$$ (iX)^{\ast} = \overline{i} X^{\ast} = (-i)(-X) = iX $$

따라서 $iX \notin \mathfrak{su}(n)$이다.

증명

유니터리 리 대수와 특수선형 리대수의 경우에서 리 군과 리 대수의 조건이 각각 아래와 같이 대응됨을 알 수 있다.

	리 군의 조건	리 대수의 조건
$\operatorname{SL}$과 $\mathfrak{sl}$	$\det(X) = 1$	$\trace(X) = 0$
$\operatorname{U}$과 $\mathfrak{u}$	$X^{\ast} = X^{-1}$	$X^{\ast} = - X$

그런데 $\operatorname{SU}$의 조건이 $X^{\ast} = X^{-1}$와 $\det(X) = 1$이므로, 이의 리 대수는 $X^{\ast} = -X$와 $\trace(X) = 0$을 만족하는 행렬들의 집합이라는 것을 알 수 있다.

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