📂표현론

일반 선형 리 대수

정의¹

모든 $n \times n$ 복소 행렬들의 집합 $M_{n}(\mathbb{C})$는 일반선형군 $\operatorname{GL}(n, \mathbb{C})$의 리대수이다.

$$ \mathfrak{gl}(n, \mathbb{C}) = M_{n}(\mathbb{C}) $$

$$ \mathfrak{gl}(n, \mathbb{R}) = M_{n}(\mathbb{R}) $$

일반화

$V$를 벡터공간이라 하자. $V$에서 $V$로 가는 모든 선형변환들의 집합에 브라켓을 교환자로 주면 리 대수가 되고, 이를 $\mathfrak{gl}(V)$라 한다.

$$ \mathfrak{gl}(V) = \operatorname{End}(V) = \left\{ X : V \to V \mid X \text{ is linear} \right\} $$ $$ [X, Y] = XY - YX, \quad X, Y \in \mathfrak{gl}(V) $$

설명

위 내용은 정의이기도 정리이기도 하다. 행렬 리군 리대수의 정의에 따라 $\operatorname{GL}$의 리 대수의 정의는 다음과 같다.

$$ \begin{align*} \mathfrak{gl} &= \left\{ X : e^{tX} \in \operatorname{GL} \text{ for all } t \in \mathbb{R} \right\} \\ &= \left\{ X : e^{tX} \text{ is invertible for all } t \in \mathbb{R} \right\} \\ \end{align*} $$

사실 모든 행렬들의 집합이 위 집합과 같다는 것이다.

증명

• $M_{n}(\mathbb{R}) \subset \mathfrak{gl}(n, \mathbb{R})$

  $X \in M_{n}(\mathbb{R})$이라 하자. 행렬지수의 성질에 따라 $e^{tX}$는 가역행렬이다. 따라서 $X \in \mathfrak{gl}(n, \mathbb{R})$이다.

• $\mathfrak{gl}(n, \mathbb{R}) \subset M_{n}(\mathbb{R})$

  $X \in \frak{gl}(n, \mathbb{R})$이라 하자. 그러면 $e^{tX} \in \operatorname{GL}(n, \mathbb{R})$, 즉 $e^{tX}$는 실수 행렬이다. $X = \left. \dfrac{\d e^{tX}}{\d t} \right|_{t=0}$이므로 $X$도 실수행렬이다.

■