📂복소해석

유수정리를 이용한 모든 정수에 대한 급수의 합 공식

공식

다항함수의 비, 즉 유리함수인 $f$ 가 $n \in \mathbb{Z}$ 에서 $f(n) \ne 0$ 이면서 $\lim_{z \to \infty} z f(z) = 0$ 이라고 하자. $f$ 가 유한한 특이점 $z_{1}, \cdots , z_{m}$ 을 가질 때, $$\sum_{n=-\infty}^{\infty} f(n) = - \sum_{n = 1}^{m} \text{Res}_{z_{n}} (\pi f(z) \cot \pi z)$$

설명

단순히 자연수만을 모두 더하는 것이 아니라 모든 정수에 대한 합을 유한한 합계로 나타내는 데 의의가 있다. 물론 주어진 $f$ 가 우함수일 경우 그 절반을 취하면 자연수에 대한 합을 구하는데에도 응용이 가능하다. 코탄젠트는 물론 $\pi$ 까지 군데군데 곱해진 복잡한 형태 때문에 외워놓고 쓰긴 어렵지만 이런 툴이 있다는 걸 알아는 두자.

유도 ¹

Part1 . 사각형 상에서 $\cos \pi z$ 의 유계성

자연수 $k \in \mathbb{N}$ 에 대해 위 그림과 같은 경로 $\mathscr{C}_{k}$ 를 생각해보자. 유리함수 $f$ 가 어떤 자연수 $k_{0}$ 이 존재해서 $k>k_{0}$ 일 때 $\mathscr{C}_{k}$ 상에서 연속이고 $\displaystyle \lim_{z \to \infty} z f(z) = 0$ 이라고 가정하자.

각 $\mathscr{C}_{k}$ 에 대해 $\displaystyle |z| \ge k + {{1 } \over {2}} > k$ 이고 연속이라는 가정에서 모든 $\varepsilon> 0$ 에 대해 $${{1} \over {|z|} } < \delta \implies |z f(z) | < \varepsilon$$ 을 만족하는 $\delta > 0$ 이 존재한다. $\displaystyle k > {{1} \over {\delta}}$ 로 선택하면 $\mathscr{C}_{k}$ 에서 $\varepsilon > 0$ 에 대해 $\displaystyle |f(z)| < {{\varepsilon} \over {k + 1/2}}$ 을 만족하는 $k$ 가 존재한다.

• 삼각함수의 덧셈정리: $$\sin\left( \alpha +\beta \right) =\sin\alpha \cos\beta +\cos\alpha \sin\beta \\ \sin\left( \alpha -\beta \right) =\sin\alpha \cos\beta -\cos\alpha \sin\beta \\ \cos\left( \alpha +\beta \right) =\cos\alpha \cos\beta -\sin\alpha \sin\beta \\ \cos\left( \alpha -\beta \right) =\cos\alpha \cos\beta +\sin\alpha \sin\beta \\ \tan\left( \alpha +\beta \right) =\frac { \tan\alpha +\tan\beta }{ 1-\tan\alpha \tan\beta } \\ \tan\left( \alpha -\beta \right) =\frac { \tan\alpha -\tan\beta }{ 1+\tan\alpha \tan\beta }$$
• 삼각함수와 쌍곡함수의 관계: $$\begin{align*} \sinh (iz) =& i \sin z \\ \sin (iz) =& i \sinh z \\ \cosh (iz) =& \cos z \\ \cos (iz) =& \cosh z \end{align*}$$
• 삼각함수와 지수함수의 관계: $$\sin z = { {e^{iz} - e^{-iz}} \over 2 i } \\ \cos z = { {e^{iz} + e^{-iz}} \over 2 }$$

편의상 $\alpha := k + 1/2$ 라 두면 $\cos \alpha \pi = 0$ 이고 $\sin \alpha \pi = (-1)^{k}$ 이다. $\mathscr{C}_{k}$ 상에서 $|\cot \pi z|$ 는 $\mathscr{C}_{k}$ 의 수직선상에서는 $z = \pm \alpha + iy$ 이고 $\left| y \right| \le \alpha$ 이므로 $$\begin{align*} |\cot \pi z| =& \left| {{ \cos \pi z } \over { \sin \pi z }} \right| \\ =& \left| {{ \cos \alpha \pi \cos i \pi y - \sin \pm \alpha \pi \sin i \pi y } \over { \sin \pm \alpha \pi \cos i \pi y + i \cos \alpha \pi \sin i \pi y }} \right| \\ =& \left| {{ \cos \alpha \pi \cosh \pi y \mp i \sin \alpha \pi \sinh \pi y } \over { \pm \sin \alpha \pi \cosh \pi y + i \cos \alpha \pi \sinh \pi y }} \right| \\ =& \left| {{ 0 + 1 \cdot \sinh \pi y} \over { 1 \cdot \cosh \pi y + 0 }} \right| \\ =& \left| \tanh \pi y \right| \\ <& 1 \end{align*}$$ 이고 $\mathscr{C}_{k}$ 의 수평선상에서는 $z = x \pm i \alpha$ 고 마찬가지로 $\left| x \right| \le \alpha$ 이다. 실수의 허수승의 크기는 항상 $1$ 이므로 삼각부등식에 따라 $$\begin{align*} \left| e^{i \pi x} e^{\mp \alpha \pi} + e^{ - i \pi x} e^{\pm \alpha \pi} \right| \le& \left| e^{i \pi x} e^{\mp \alpha \pi} \right| + \left| e^{ - i \pi x} e^{\pm \alpha \pi} \right| = e^{\alpha \pi} + e^{ - \alpha \pi} \\ \left| e^{i \pi x} e^{\mp \alpha \pi} - e^{ - i \pi x} e^{\pm \alpha \pi} \right| \ge& \left| \left| e^{i \pi x} e^{\mp \alpha \pi} \right| - \left| e^{ - i \pi x} e^{\pm \alpha \pi} \right| \right| = e^{\alpha \pi} - e^{ - \alpha \pi} \end{align*}$$ 에서 다음을 얻는다. $$\begin{align*} |\cot \pi z| = \left| {{ \cos \pi z } \over { \sin \pi z }} \right| \\ =& \left| {{ e^{i \pi z} + e^{ - i \pi z} } \over { e^{i \pi z} - e^{ -i \pi z} }} \right| \\ =& \left| {{ e^{i \pi x} e^{\mp \alpha \pi} + e^{ - i \pi x} e^{\pm \alpha \pi} } \over { e^{i \pi x} e^{\mp \alpha \pi} - e^{ -i \pi x} e^{\pm \alpha \pi} }} \right| \\ \le & {{e^{\alpha \pi} + e^{- \alpha \pi}}\over {e^{\alpha \pi} - e^{- \alpha \pi}}} \\ =& \cot \alpha \pi \\ \le& \max \left\{ \pm \cot {{1} \over {2}} \pi, \pm \cot {{3} \over {2}} \pi \right\} & \because \sin \alpha \pi = (-1)^{k} \\ \le& \cot {{3} \over {2}} \pi \\ <& 2 \end{align*}$$ 결과적으로, $|\cot \pi z|$ 은 사각형 $\mathscr{C}_{k}$ 상에서 항상 바운드되어있다.

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Part 2. $\lim_{k \to \infty} \int_{\mathscr{C}_{k}} f(z) \cot \pi z dz = 0$

$\mathscr{C}_{k}$ 의 길이는 $$8 \left( k + {{1 } \over {2}} \right)$$ 이므로 ML 보조정리에 의해 $${{1} \over {k}} < \delta \implies \left| \int_{\mathscr{C}_{k}} f(z) \cot \pi z dz \right| \le {{8 (k + 1/2) 2 \varepsilon } \over { k + 1/2}} = 16 \varepsilon$$ 따라서 $$\lim_{k \to \infty} \int_{\mathscr{C}_{k}} f(z) \cot \pi z dz = 0$$

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Part 3. $\sum_{n=-\infty}^{\infty} f(n) = - \sum_{n = 1}^{m} \text{Res}_{z_{n}} (\pi f(z) \cot \pi z)$

이제 $F(z) := \pi f(z) \cot \pi z$ 이라고 정의하면 $f(n) \ne 0$ 이므로 $n \in \mathbb{Z}$ 들은 모두 $F$ 의 단순극이 된다. 유수를 구해보면 $$\text{Res}_{n} F(z) = {{ \pi f(z) \cos \pi z} \over { (\sin \pi z)' }} = \left. {{ \pi f(z) \cos \pi z} \over { \pi \cos \pi z }} \right|_{z = n} = f(n)$$ 가정에 따라 $F$ 는 여전히 특이점 $z_{1} , z_{2} , \cdots , z_{m}$ 들을 가지므로 유수정리에 의해 $$\begin{align*} \lim_{k \to \infty} \int_{\mathscr{C}_{k}} F(z) dz =& \lim_{k \to \infty} 2 \pi i \left( \sum_{n = -k} ^{k} f(n) + \sum_{n = 1} ^{m} \text{Res}_{z_{n}} F(z) \right) \\ =& 2 \pi i \left( \sum_{n=-\infty}^{\infty} f(n) + \sum_{n = 1}^{m} \text{Res}_{z_{n}} (\pi f(z) \cot \pi z) \right) \end{align*}$$ 우리는 이미 위에서 $\displaystyle \lim_{k \to \infty} \int_{\mathscr{C}_{k}} f(z) \cot \pi z dz = 0$ 임을 보였으므로 $$\sum_{n=-\infty}^{\infty} f(n) = - \sum_{n = 1}^{m} \text{Res}_{z_{n}} (\pi f(z) \cot \pi z)$$

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교대급수에 대한 공식

모든 정수에 대한 교대급수의 합 공식: 유리함수 $f$ 에 대해 $$\lim_{z \to \infty} z f(z) = 0$$ 이고 $n \in \mathbb{Z}$ 에서 $f(n) \ne 0$ 이라고 하자. $f$ 가 유한한 특이점 $z_{1}, \cdots , z_{m}$ 을 가질 때 $$\sum_{n=-\infty}^{\infty} (-1)^{n}f(n) = - \sum_{n = 1}^{m} \text{Res}_{z_{n}} (\pi f(z) \csc \pi z)$$

한편 교대급수에 대해서도 위와 비슷하게 유도할 수 있으니 직접 손으로 써가면서 해보도록 하자.