📂동역학

폰 코흐 커브

정의 ¹

$K_{n+1}$ 은 위와 같이

1. $K_{n}$ 의 길이가 $l$ 인 모든 선분을 삼등분하고
2. 가운데 지점에 변의 길이가 $l/3$ 인 정삼각형을 추가하고
3. 정삼각형과 $K_{n}$ 이 겹치는 부분을 제거

함으로써 정의된다. 다음과 같은 집합의 극한 $K \subset \mathbb{R}^{2}$ 을 폰 코흐 커브^{von Koch curve}라 정의한다. $$ K := \lim_{n \to \infty} K_{n} $$

설명

폰 코흐 커브는 프랙털의 예로써 대표적으로 언급되는 도형으로써, $K_{n}$ 은 $n$ 이 1 증가할 때마다 길이가 $4/3$ 배로 길어지는 성질을 가지고 있다. 이에 따르면 $K_{0}$ 의 길이가 $1$ 이라고 할 때 $K$ 의 길이는 다음과 같이 무한대로 발산한다. $$ \lim_{n \to \infty} \left( {\frac{ 4 }{ 3 }} \right)^{n} \cdot 1 = \infty $$

같이보기

• 칸토어 집합