📂초함수론

초함수로 정의되는 디랙 델타함수의 푸리에변환

도입¹

조절초함수 $F$의 푸리에변환은 슈바르츠 함수 $\phi$에 대해서 다음과 같이 정의된다.

$$ \hat{F}[\phi] := F[\hat{\phi}] $$

디랙 델타함수에 대해서 적용하면 아래와 같다.

$$ \widehat{\delta}[\phi] = \delta[\widehat{\phi}] = \widehat{\phi}(\mathbf{0}) = \int_{\mathbb{R}^{n}} \phi (\mathbf{x}) e^{-\i \mathbf{x}\cdot \mathbf{0}} \d\mathbf{x} = \int_{\mathbb{R}^{n}} \phi (\mathbf{x}) \d\mathbf{x} $$

우변에서 $\phi$가 상수 $1$과 곱해져있음을 생각하면, 초함수로서의 상수 $\mathbf{1}$을 다음과 같이 정의할 수 있다.

$$ \mathbf{1}[\phi] = \int_{\mathbb{R}^{n}} 1 \cdot \phi (\mathbf{x}) \d\mathbf{x} = \int_{\mathbb{R}^{n}} \phi (\mathbf{x}) \d\mathbf{x} $$

따라서 초함수적 관점에서 디랙 델타함수의 푸리에변환은 상수함수 $1$이다.

$$ \hat{\delta} = 1 \tag{1} $$

설명

$(1)$을 거꾸로 생각하면, $1$의 푸리에역변환이 델타함수이므로 다음의 식을 얻는다.

$$ \delta(\mathbf{x}) = \mathcal{F}^{-1}[1] = \dfrac{1}{(2\pi)^{n}} \int_{\mathbb{R}^{n}} e^{\i \mathbf{x}\cdot\boldsymbol{\xi}} \d\boldsymbol{\xi} $$

우변의 적분은 피적분함수 $e^{\i \mathbf{x}\cdot\boldsymbol{\xi}}$의 절댓값이 어디서나 $1$이므로 적분은 발산한다. 따라서 이 등식은 조절 초함수 공간 $\mathcal{S}^{\ast}$ 위에서만 정당화된다. 우변 앞의 계수 $(2\pi)^{-n}$는 푸리에 변환을 어떻게 정의하느냐에 따라 달라진다. 이로부터 아래의 유용한 등식을 얻는다.

$$ \delta(\mathbf{x} - \mathbf{y}) = \dfrac{1}{(2\pi)^{n}} \int_{\mathbb{R}^{n}} e^{\i (\mathbf{x} - \mathbf{y})\cdot\boldsymbol{\xi}} \d\boldsymbol{\xi} = \braket{e^{\i \mathbf{y}} | e^{\i \mathbf{x}}} $$

$$ \int_{-\infty}^{\infty} e^{\i Axy} \d y = \dfrac{2\pi}{A}\delta(x) $$