📂양자역학

운동량 연산자의 고유함수

정리¹

운동량 연산자 $\hat{p}$의 고유값은 모든 실수이고, 고유값 $p \in \mathbb{R}$에 대응하는 고유함수 $f_{p}$는 아래와 같다.

$$ f_{p}(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi\hbar}} e^{\i p x / \hbar} $$

설명

운동량 연산자의 고유함수를 구해보면 복소 지수함수, 즉 평면파의 형태로 나타난다. 위치 연산자의 고유함수와 마찬가지로 실수 전체에 연속적인 모든 값들이 고유값으로 가능하기 때문이다. 이렇게 고유값이 연속적인 값으로 존재하는 경우를 연속 스펙트럼이라고 한다. 연속 스펙트럼의 경우에 고유함수들은 힐베르트 공간에 속하지 않기 때문에 정규직교 조건인 $\braket{f_{p^{\prime}} | f_{p}} = \delta_{p^{\prime} p}$를 적용할 수 없다. 연속 스펙트럼의 고유함수는 아래와 같은 디랙 규격화를 만족해야 한다.

$$ \braket{f_{p^{\prime}} | f_{p}} = \delta (p - p^{\prime}) $$

고유함수의 완비성 역시 급수가 아니라 적분의 형태로 성립하여, 임의의 파동함수 $f$는 아래와 같이 고유함수들의 적분으로 전개된다.

$$ f(x) = \int_{-\infty}^{\infty} c(p) f_{p}(x) \d p $$

여기서 전개 계수 $c(p) = \braket{f_{p} | f}$는 곧 $f$의 푸리에 변환이며, 이를 운동량 공간에서의 파동함수라 부른다. 실수인 고유값만 물리적으로 허용되는 이유는, 고유값 $p$가 복소수라면 고유함수 $e^{\i p x / \hbar}$가 $x \to \pm\infty$에서 발산하여 규격화가 불가능해지기 때문이다.

증명

$\hat{p}$를 운동량 연산자라 하자. $p$를 연산자의 고유값, $f_{p}$를 이에 대응하는 고유함수라 하자.

$$ \hat{p} f_{p} = p f_{p} $$

운동량 연산자는 $\hat{p} = -\i\hbar \dfrac{\d}{\d x}$이므로 고유값 방정식은 다음과 같은 미분방정식이 된다.

$$ -\i\hbar \frac{\d}{\d x} f_{p}(x) = p f_{p}(x) \implies f_{p}^{\prime}(x) = \frac{\i p}{\hbar} f_{p}(x) $$

이는 $1$계 선형 미분방정식이므로 그 해는 규격화 상수 $A$에 대하여 아래와 같다.

$$ f_{p}(x) = A e^{\i p x / \hbar} $$

만약 고유값 $p$가 실수가 아니라 $p = a + b\i$ ($b \ne 0$)인 복소수라면 고유함수는 다음과 같다.

$$ f_{p}(x) = A e^{\i a x / \hbar} e^{- b x / \hbar} $$

이때 뒤쪽에 곱해지는 $e^{-bx/\hbar}$로 인해 $x \to +\infty$ 또는 $x \to -\infty$에서 함수가 발산하므로 규격화가 불가능하다. 따라서 물리적으로 허용되는 고유값은 실수뿐이다.

이제 규격화 상수 $A$를 결정하자. 위치 연산자의 고유함수와 마찬가지로 $f_{p}$는 제곱적분이 불가능하여 통상적인 규격화가 되지 않으므로 디랙 규격화를 적용한다.

$$ \braket{f_{p^{\prime}} | f_{p}} = \int_{-\infty}^{\infty} f_{p^{\prime}}^{\ast}(x) f_{p}(x) \d x = |A|^{2} \int_{-\infty}^{\infty} e^{\i (p - p^{\prime}) x / \hbar} \d x $$

여기서 이 적분은 통상적인 의미로는 수렴하지 않지만, 조금 어려운 수학을 쓰면 디랙 델타함수의 적분 표현 $\int_{-\infty}^{\infty} e^{\i (p - p^{\prime}) x / \hbar} \d x = 2\pi\hbar \delta(p - p^{\prime})$임을 알 수 있다. 이를 이용하면 다음을 얻는다.

$$ \braket{f_{p^{\prime}} | f_{p}} = 2\pi\hbar |A|^{2} \delta(p - p^{\prime}) $$

디랙 규격화 조건 $\braket{f_{p^{\prime}} | f_{p}} = \delta(p - p^{\prime})$가 성립하려면 $2\pi\hbar |A|^{2} = 1$, 즉 $A = 1 / \sqrt{2\pi\hbar}$이어야 한다. 따라서 규격화된 운동량 연산자의 고유함수는 아래와 같다.

$$ f_{p}(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi\hbar}} e^{\i p x / \hbar} $$

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