📂양자역학

위치 연산자의 고유함수

정리¹

위치 연산자 $\hat{x}$의 고유값은 모든 실수이고, 고유값 $y \in \mathbb{R}$에 대응하는 고유함수 $\phi_{y}$는 디랙 델타 함수이다.

$$ \phi_{y}(x) = \delta (x - y) $$

설명

위치 연산자의 고유함수를 구해보면 디랙 델타 함수라는 특이한 결과를 보인다. 이는 실수 전체에 연속적인 모든 값들이 고유값으로 가능하기 때문이다. 이렇게 고유값이 연속적인 값으로 존재하는 경우를 연속 스펙트럼이라고 한다. 연속 스펙트럼의 경우에 고유함수들은 힐베르트 공간에 속하지 않기 때문에 정규직교 조건인 $\braket{\phi_{y^{\prime}} | \phi_{y}} = \delta_{y^{\prime} y}$를 적용할 수 없다. 연속 스펙트럼의 고유함수는 아래와 같은 디랙 규격화를 만족해야 한다.

$$ \braket{\phi_{y^{\prime}} | \phi_{y}} = \delta (y - y^{\prime}) $$

고유함수의 완비성 역시 급수가 아니라 적분의 형태로 성립하여, 임의의 파동함수 $f$는 아래와 같이 고유함수들의 적분으로 전개된다.

$$ f(x) = \int_{-\infty}^{\infty} c(y) \phi_{y}(x) \d y = \int_{-\infty}^{\infty} f(y) \delta (x - y) \d y $$

여기서 전개 계수는 $c(y) = \braket{\phi_{y} | f} = f(y)$, 즉 파동함수의 값 그 자체이다. 디랙 델타 함수는 한 점을 제외한 모든 곳에서 함숫값이 $0$인 함수이다. 어떤 하나의 입자가 동시에 여러 곳에 존재할 수는 없으므로, 그 입자의 위치는 정확히 한 점이어야 하고 따라서 디랙 델타 함수로 나타나는 것이 자연스럽다고 볼 수 있다.

증명

$\hat{x}$를 위치 연산자라 하자. $y$를 고유값, $\phi_{y}$를 이에 대응하는 고유함수라 하자.

$$ \hat{x} \phi_{y} = y \phi_{y} $$

위치 연산자 $\hat{x}$는 $x$를 곱한 것과 같으므로 다음을 얻는다.

$$ x \phi_{y} = y \phi_{y} \implies (x-y)\phi_{y}(x) = 0 $$

$x \ne y$이면 $(x-y) \ne 0$이므로 $\phi_{y}(x) = 0$이어야 한다. 즉 $\phi_{y}$는 $x \ne y$인 모든 곳에서 $0$인 값을 가져야 한다. $x = y$에서는 아무 값이라도 상관없으므로 다음과 같다고 가정하자.

$$ \phi_{y}(x) = \begin{cases} a, & x = y \\ 0, & x \ne y \end{cases} $$

이 함수가 고유함수 즉, 파동함수가 되려면 제곱적분한 값이 $0$보다 커야 한다. 그래야 규격화가 가능하고, 확률적 해석이 가능하기 때문이다. 그런데 위 함수의 적분은 $0$이다. 즉 $\phi_{y}$는 적분의 관점에서 봤을 때 사실상 영함수인 것이다.

$$ \int_{-\infty}^{\infty} |\phi_{y}(x)|^{2} \d x = 0 $$

그러면 한 점을 제외한 모든 곳에서 함숫값이 $0$이면서 적분했을 때 그 값이 $0$이 아닌 함수의 도입이 필요한데, 그것은 바로 디랙 델타 함수이다. $\phi_{y}$를 아래와 같은 디랙 델타 함수로 보면 위의 모든 조건을 만족한다.

$$ \phi_{y}(x) = \delta(x - y) $$

이 경우에 위에서도 설명했듯이 규격화조건은 아래와 같다.

$$ \braket{\phi_{y^{\prime}} | \phi_{y}} = \delta (y - y^{\prime}) $$

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