📂양자역학

양자역학에서 고유함수의 완비성

정의

파동함수들의 수열(집합) $S = \left\{ \psi_{0}, \psi_{1}, \psi_{2}, \dots \right\}$가 주어졌다고 하자. 임의의 파동함수 $\phi$가 아래와 같이 $S$의 급수로 나타날 때 이 수열(집합)이 완비성^completeness을 갖는다고 말한다.

$$ \phi(x) = \sum\limits_{n = 0}^{\infty} c_{n}\psi_{n}(x) $$

특히 $S$가 정규직교집합이면, 즉 각각의 $\psi_{n}$이 규격화되어 있고 서로 직교하여 $\braket{\psi_{m} | \psi_{n}} = \delta_{mn}$을 만족하면 계수 $c_{n}$은 다음과 같이 내적으로 주어진다.

$$ c_{n} = \braket{\psi_{n} | \phi} $$

유한차원의 경우 아래와 같이 유한한 선형결합으로 나타날 수 있을 때 완비라고 한다.

$$ \phi(x) = \sum\limits_{n = 0}^{N} c_{n}\psi_{n}(x) $$

고유값이 연속 스펙트럼을 갖는 경우에는 합이 아니라 적분으로 나타난다.

$$ \phi(x) = \int_{-\infty}^{\infty} c_{z}\psi_{z}(x) dz $$

설명¹

completeness는 우리말로 완비성 혹은 완전성으로 번역된다. 수학에서는 완비성이라는 역어가 표준이지만 물리 교재에서는 '완전하다', '완전성'이라는 표현도 쓰인다. 이 글에서는 완비성으로 통일한다.

완비성이 중요한 이유는 양자역학의 이론 체계가 다음의 전제 위에 서 있기 때문이다.

관측가능량을 나타내는 에르미트 연산자의 고유함수들은 완비집합을 이룬다.

양자역학에서 물리량을 측정하는 행위는 연산자로 표현되고, 측정으로 얻을 수 있는 값은 그 연산자의 고유값이다. 에르미트 연산자 $A$의 고유값 방정식 $A \psi_{n} = a_{n} \psi_{n}$을 풀어 얻은 고유함수들이 완비집합을 이룬다는 것은, 계가 어떤 상태 $\phi$에 있든 그 상태를 고유함수들의 급수로 전개할 수 있다는 뜻이다. 이때 $\phi$가 규격화되어 있으면 계수들은 $\sum_{n} \left| c_{n} \right|^{2} = 1$을 만족하고, $\left| c_{n} \right|^{2}$은 상태 $\phi$에서 $A$를 측정했을 때 고유값(=에너지) $a_{n}$을 얻을 확률로 해석된다. 다시 말해 완비성이 보장되지 않으면, $\sum_{n} |c_{n}|^{2} \lt 1$일 수 있고, 측정에 대한 확률적 해석 자체가 성립하지 않는다.

이산 스펙트럼

고유값이 이산 스펙트럼을 가지는 경우에는 이에 대응하는 고유함수들이 완비집합이라는 것이 수학적으로 보장된다. 즉 고유함수들의 집합을 알고 있으면, 임의의 파동함수 $\phi$를 아래와 같이 나타낼 수 있다. 이는 $\phi$를 구체적으로 알지 못해도 고유함수들의 합으로 이를 다룰 수 있다는 뜻이다.

$$ \phi = \sum\limits_{n = 0}^{\infty} c_{n}\psi_{n}, \qquad c_{n} = \braket{\psi_{n} | \phi} $$

가령 무한 퍼텐셜 우물이나 조화진동자의 경우에 고유함수들이 다음과 같이 얻을 수 있다. 즉 각각의 계에서 임의의 파동함수는 이 고유함수들의 선형결합으로 나타낼 수 있다.

$$ \psi_{n}{(x)} = \textstyle \sqrt{\frac{2}{a}}\sin \left( \frac{n\pi}{a}x \right),\qquad \psi_{n}(x) = \dfrac{1}{\sqrt{2^{n}n!}} \alpha^{-n/2} \left( \dfrac{\alpha}{\pi} \right)^{1/4} \left( \alpha x - \dfrac{\d }{\d x} \right)^{n} e^{-\frac{\alpha}{2} x^{2}} $$

연속 스펙트럼

반면에 고유값이 연속 스펙트럼을 갖는 경우에는 문제가 있다. 해당 고유함수들이 힐베르트 공간에 속하지 않기 때문이다. 벡터공간에서는 그 원소끼리 더한 것도 다시 벡터공간의 원소여야한다. 즉 덧셈에 대해서 닫혀있어야한다. 그런데 연속 스펙트럼의 고유함수들은 힐베르트 공간의 원소가 아니므로, 이들을 보통의 벡터처럼 단순히 더하는 것으로는 힐베르트 공간 안의 임의의 파동함수를 표현할 수 없다.

대신 이 고유함수들을 적분을 통해 연속적으로 중첩하면 힐베르트 공간에 속하는 파동함수를 구성할 수 있다. 이를 아무리 더해도 어떤 파동함수를 표현할 수가 없다. 다행히도 덧셈이 아니라 적분으로 고유함수들을 중첩하면 이는 힐베르트 공간에 속하게 된다. 그래서 임의의 파동함수 $\phi$를 연속 스펙트럼의 고유함수 $\psi_{p}$들의 적분으로 아래와 같이 나타낼 수 있다.

$$ \phi = \int_{-\infty}^{\infty} c_{p} \psi_{p} \d p, \qquad c_{p} = \braket{\psi_{p} | \phi} $$

여기서 $\psi_{p}$ 자체는 힐베르트 공간의 원소가 아니지만, 적절한 계수 $c_{p}$로 이루어진 적분 중첩은 힐베르트 공간의 원소가 될 수 있다.