📂거리공간

거리공간에서 위상동형이란

정의

두 거리공간 $\left( X, d_{1} \right)$ 과 $\left( Y, d_{2} \right)$ 에 대해 전단사 $f : X \to Y$ 가 존재해서 $f$ 와 그 역함수 $f^{-1}$ 모두 연속함수면 $f$ 를 위상동형사상이라 부르고 두 거리공간이 위상동형^homeomorphic이라 한다.

설명

거리공간에 대한 위상동형의 정의는 언뜻 공허해보인다. 물론 그도 그럴게, 거리공간 자체가 충분히 좋은 공간인데다가 두 거리공간이 위상동형임을 보이기 위해서는 조건을 만족하는 전단사 함수를 구체적으로 보이는 것으로 충분하기 때문이다. 배우는 입장에선 일반적인 위상공간으로의 일반화를 염두에 두고 미리 단어를 접하는 느낌이 강하다.

성질

$d_{1}$ 과 $d_{2}$ 가 $X$ 상에서 정의된 거리라고 하자. 만약 모든 $x, y \in X$ 에 대해서$d_{1} (x,y) \le c d_{2} (x,y)$ 와 $d_{2}(x,y) \le c ' d_{1} (x,y)$ 을 만족하는 $c,c ' >0$ 가 존재하면 항등함수 $1_{X} : \left( X, d_{2} \right) \to \left( X, d_{1} \right)$ 은 위상동형사상이다.

증명

항등함수 $1_{X}$ 는 자명하게도 전단사 함수이므로, $1_{X}$ 와 $1_{X}^{-1}$ 가 연속임을 보이면 된다. 주어진 $\varepsilon > 0$ 과 $a \in X$ 에 대해 $\displaystyle \delta := {{\varepsilon} \over {c}}$ 이라 하자. 그러면 $d_{2} (x,a) < \delta$ 인 모든 $x$ 에 대해 다음이 성립한다.

$$\begin{align*} d_{1}(1_{X} (x), 1_{X} (a)) =& d_{1} (x,a) \\ \le & c d_{2} (x,a) \\ <& c \delta \\ =& \varepsilon \end{align*}$$

따라서 $1_{X}$ 은 연속함수고, $1_{X} = 1_{X}^{-1}$ 이므로 위상동형사상의 조건을 만족한다.

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이 성질은 놈의 동치와 비슷한 정리로써, 적어도 팩트로써는 알아두도록 하자.