📂표현론

리 대수의 구조상수

정의¹

$\mathfrak{g}$를 유한차원인 리 대수라 하자. $\left\{ X_{1}, \dots, X_{N} \right\}$을 $\mathfrak{g}$의 기저라 하자. 아래와 같이 결정되는 유일한 상수 $c_{jk\ell}$들을 $\mathfrak{g}$의 구조 상수^{structure constants}라 한다.

$$ [X_{j}, X_{k}] = \sum_{\ell=1}^{N} c_{jk\ell}X_{\ell} $$

성질

모든 $j,k,\ell,m$에 대해서 다음이 성립한다.

$$ c_{jk\ell} + c_{kj\ell} = 0 \tag{1} $$

$$ \sum_{n} \left( c_{jkn}c_{n\ell m} + c_{k\ell n}c_{njm} + c_{\ell jn}c_{nkm} \right) = 0 \tag{2} $$

설명

$(1)$은 브라켓 $\left[ \cdot, \cdot \right]$의 반대칭성 때문에 성립하고, $(2)$는 야코비 항등식에 의해 성립한다.

브라켓은 이중선형이므로, 임의의 두 원소 $X = \sum_{j} a_{j} X_{j}$, $Y = \sum_{k} b_{k} X_{k}$의 브라켓은 기저원소들 사이의 브라켓 값으로 전부 결정된다.

$$ [X, Y] = \sum_{j, k} a_{j} b_{k} [X_{j}, X_{k}] = \sum_{\ell} \left( \sum_{j, k} a_{j} b_{k} c_{jk\ell} \right) X_{\ell} $$

즉 기저를 하나 고정하면 구조 상수가 리 대수의 브라켓을, 따라서 리 대수의 구조 전체를 완전히 결정한다.

리 대수의 브라켓은 추상적인 이중선형 연산이지만, 위에서 보았듯 기저원소들 사이의 값만으로 완전히 결정된다. 구조 상수는 바로 그 값들을 모아놓은 것이므로, 무한히 많은 원소쌍에 대한 브라켓 연산 전체를 유한개($N^{3}$개)의 수로 압축한 것이라 할 수 있다. 이로부터 다음과 같은 이점이 생긴다.

계산

임의의 두 원소의 브라켓이 구조 상수를 이용한 사칙연산으로 환원된다. 추상적인 연산을 직접 다룰 필요 없이 수치 데이터만으로 리 대수를 계산할 수 있다.

예를 들어 특수선형 리 대수 $\mathfrak{sl}(2; \mathbb{C})$의 [기저 $\left\{ X, H, Y \right\}$는 교환 관계 $[X, Y] = H$, $[H, X] = 2X$, $[H, Y] = -2Y$를 만족]한다. 이를 이용해 두 원소 $P = 2X + H$, $Q = X - Y$의 브라켓 $[P, Q]$를 두 가지 방법으로 계산해 비교해 보자.

먼저 $P, Q$를 실제 행렬로 보고 교환자 $PQ - QP$를 행렬곱으로 직접 계산하는 방법이 있다.

$$ P = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}, \quad Q = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}, \quad [P, Q] = PQ - QP = \begin{pmatrix} -2 & 2 \\ 2 & 2 \end{pmatrix} = 2X - 2H + 2Y $$

반면 $P, Q$의 정체는 잊고, 좌표와 위의 교환 관계, 즉 구조 상수만으로 이중선형성(분배법칙)을 써서 펼칠 수도 있다.

$$ [2X + H, X - Y] = 2\underbrace{[X, X]}_{0} - 2\underbrace{[X, Y]}_{H} + \underbrace{[H, X]}_{2X} - \underbrace{[H, Y]}_{-2Y} = 2X - 2H + 2Y $$

두 방법의 결과는 같지만, 두 번째 방법은 행렬을 단 한 번도 곱하지 않았다. 기저쌍에서의 브라켓 값(구조 상수)과 사칙연산만 있으면, 리 대수가 행렬로 실현되었다는 사실조차 몰라도 임의의 브라켓을 계산할 수 있다.

일반화

구조 상수는 리 대수에 국한된 개념이 아니다. 임의의 체 위의 대수 $A$의 곱 $\times$도 이중선형이므로, 기저 $\left\{ e_{1}, \dots, e_{n} \right\}$에 대해 아래와 같이 구조 상수 $c_{ijk}$를 정의할 수 있다.

$$ e_{i} \times e_{j} = \sum_{k=1}^{n} c_{ijk} e_{k} $$

리 대수의 구조 상수는 곱을 브라켓으로 둔 특수한 경우이다. 일반적인 대수의 구조 상수에는 아무런 제약이 없지만, 리 대수에서는 브라켓의 반대칭성과 야코비 항등식 때문에 성질 $(1)$, $(2)$라는 추가 조건이 붙는다.

예시

특수선형 리 대수 $\mathfrak{sl}(2; \mathbb{C})$의 기저 $\left\{ X, H, Y \right\}$를 $(X_{1}, X_{2}, X_{3}) = (X, H, Y)$로 두자. 아래에서 계산하는 교환 관계 $[X, Y] = H$, $[H, X] = 2X$, $[H, Y] = -2Y$로부터 $0$이 아닌 구조 상수는 다음과 같다.

$$ c_{132} = 1, \quad c_{211} = 2, \quad c_{233} = -2 $$

나머지는 성질 $(1)$의 반대칭성으로 정해진다. 가령 $c_{312} = -1$, $c_{121} = -2$, $c_{323} = 2$이다.