📂표현론

리 대수의 직합

정의¹

$\mathfrak{g}_{1}$, $\mathfrak{g}_{2}$를 리 대수라 하자. $\mathfrak{g}_{1}$와 $\mathfrak{g}_{2}$의 직합^{direct sum} $\mathfrak{g}$는 벡터공간으로서의 직합으로 정의된다.

$$ \mathfrak{g} = \mathfrak{g}_{1} \oplus \mathfrak{g}_{2} $$

$\mathfrak{g}$의 브라켓은 다음과 같다.

$$ \left[ (X_{1}, X_{2}), (Y_{1}, Y_{2}) \right]_{\mathfrak{g}} = \left([X_{1}, Y_{1}]_{\mathfrak{g}_{1}}, [X_{2}, Y_{2}]_{\mathfrak{g}_{2}}\right) \tag{1} $$

$\mathfrak{g} = \mathfrak{g}_{1} \oplus \mathfrak{g}_{2}$가 리 대수이고, $\mathfrak{g}_{1}$과 $\mathfrak{g}_{2}$가 $\mathfrak{g}$의 리 부분대수라 하자. 다음의 식이 성립하면, $\mathfrak{g}$가 $\mathfrak{g}_{1}$와 $\mathfrak{g}_{2}$를 리 대수 직합으로 분해한다^{decomposes as the Lie algebra direct sum}고 말한다.

$$ [X_{1}, X_{2}] = 0 \quad \text{for all } X_{1} \in \mathfrak{g}_{1}, X_{2} \in \mathfrak{g}_{2} $$

설명

$(1)$으로 정의된 브라켓은 $\mathfrak{g}_{1}$과 $\mathfrak{g}_{2}$ 사이의 교차 항이 없이 독립적으로 작용한다는 의미이다. 또한 $\mathfrak{g}_{1} \oplus \mathfrak{g}_{2}$를 리 대수로 만든다.

• 이중선형

$\mathfrak{g}_{1}$, $\mathfrak{g}_{2}$의 브라켓의 쌍선형성으로부터 직합의 브라켓도 쌍선형성을 갖는다. 벡터공간의 직합에서 $a(X_{1}, X_{2}) + b(Y_{1}, Y_{2}) = (aX_{1} + bY_{1}, aX_{2} + bY_{2})$ 이므로, $$ \begin{align*} & \Big[ a(X_{1}, X_{2}) + b(Y_{1}, Y_{2}), (Z_{1}, Z_{2}) \Big]_{\mathfrak{g}} \\ &= \Big[ (aX_{1} + bY_{1}, aX_{2} + bY_{2}), (Z_{1}, Z_{2}) \Big]_{\mathfrak{g}} \\ &= \left( \left[ aX_{1}+bY_{1}, Z_{1} \right]_{\mathfrak{g}_{1}}, \left[ aX_{2}+bY_{2}, Z_{2} \right]_{\mathfrak{g}_{2}} \right) \\ &= \left( a\left[ X_{1}, Z_{1} \right]_{\mathfrak{g}_{1}}+b\left[ Y_{1}, Z_{1} \right]_{\mathfrak{g}_{1}}, a\left[ X_{2}, Z_{2} \right]_{\mathfrak{g}_{2}}+b\left[ Y_{2}, Z_{2} \right]_{\mathfrak{g}_{2}} \right) \\ &= \left( a\left[ X_{1}, Z_{1} \right]_{\mathfrak{g}_{1}}, a\left[ X_{2}, Z_{2} \right]_{\mathfrak{g}_{2}} \right) + \left( b\left[ Y_{1}, Z_{1} \right]_{\mathfrak{g}_{1}}, b\left[ Y_{2}, Z_{2} \right]_{\mathfrak{g}_{2}} \right)\\ &= a\left( \left[ X_{1}, Z_{1} \right]_{\mathfrak{g}_{1}}, \left[ X_{2}, Z_{2} \right]_{\mathfrak{g}_{2}} \right) + b\left( \left[ Y_{1}, Z_{1} \right]_{\mathfrak{g}_{1}}, \left[ Y_{2}, Z_{2} \right]_{\mathfrak{g}_{2}} \right)\\ &= a \left[ (X_{1}, X_{2}), (Z_{1}, Z_{2}) \right]_{\mathfrak{g}} + b \left[ (Y_{1}, Y_{2}), (Z_{1}, Z_{2}) \right]_{\mathfrak{g}}\\ \end{align*} $$

• 반대칭성

$\mathfrak{g}_{1}$, $\mathfrak{g}_{2}$의 브라켓의 반대칭성으로부터 직합의 브라켓이 반대칭성을 얻는다. $$ \begin{align*} \left[ (X_{1}, X_{2}), (Y_{1}, Y_{2}) \right]_{\mathfrak{g}} &= \big([X_{1}, Y_{1}]_{\mathfrak{g}_{1}}, [X_{2}, Y_{2}]_{\mathfrak{g}_{2}}\big) \\ &= \big(-[Y_{1}, X_{1}]_{\mathfrak{g}_{1}}, -[Y_{2}, X_{2}]_{\mathfrak{g}_{2}}\big) \\ &= -\big([Y_{1}, X_{1}]_{\mathfrak{g}_{1}}, [Y_{2}, X_{2}]_{\mathfrak{g}_{2}}\big) \\ &= -\left[ (Y_{1}, Y_{2}), (X_{1}, X_{2}) \right]_{\mathfrak{g}} \\ \end{align*} $$

• 야코비 항등식

$\mathfrak{g}_{1}$, $\mathfrak{g}_{2}$의 브라켓이 야코비 항등식을 만족하기 때문에, $\mathfrak{g}$의 브라켓도 만족한다. 먼저 한 항을 계산하면 다음과 같다.

$$ \begin{align*} \Big[ \left[ (X_{1}, X_{2}), (Y_{1}, Y_{2}) \right]_{\mathfrak{g}}, (Z_{1}, Z_{2}) \Big]_{\mathfrak{g}} &= \Big[ \big([X_{1}, Y_{1}]_{\mathfrak{g}_{1}}, [X_{2}, Y_{2}]_{\mathfrak{g}_{2}}\big), (Z_{1}, Z_{2}) \Big]_{\mathfrak{g}} \\ &= \Big( \big[ [X_{1}, Y_{1}]_{\mathfrak{g}_{1}}, Z_{1} \big]_{\mathfrak{g}_{1}}, \big[ [X_{2}, Y_{2}]_{\mathfrak{g}_{2}}, Z_{2} \big]_{\mathfrak{g}_{2}} \Big) \end{align*} $$

나머지 두 항도 같은 방식으로 계산한 뒤 세 항을 모두 더하면, 각 성분은 $\mathfrak{g}_{1}$, $\mathfrak{g}_{2}$에서의 야코비 항등식이 되어 $0$이 된다.

$$ \begin{align*} &\Big[ \left[ (X_{1}, X_{2}), (Y_{1}, Y_{2}) \right]_{\mathfrak{g}}, (Z_{1}, Z_{2}) \Big]_{\mathfrak{g}} + \Big[ \left[ (Y_{1}, Y_{2}), (Z_{1}, Z_{2}) \right]_{\mathfrak{g}}, (X_{1}, X_{2}) \Big]_{\mathfrak{g}} + \Big[ \left[ (Z_{1}, Z_{2}), (X_{1}, X_{2}) \right]_{\mathfrak{g}}, (Y_{1}, Y_{2}) \Big]_{\mathfrak{g}} \\ &= \left( \begin{aligned} &\big[ [X_{1}, Y_{1}]_{\mathfrak{g}_{1}}, Z_{1} \big]_{\mathfrak{g}_{1}} + \big[ [Y_{1}, Z_{1}]_{\mathfrak{g}_{1}}, X_{1} \big]_{\mathfrak{g}_{1}} + \big[ [Z_{1}, X_{1}]_{\mathfrak{g}_{1}}, Y_{1} \big]_{\mathfrak{g}_{1}}, \\ &\big[ [X_{2}, Y_{2}]_{\mathfrak{g}_{2}}, Z_{2} \big]_{\mathfrak{g}_{2}} + \big[ [Y_{2}, Z_{2}]_{\mathfrak{g}_{2}}, X_{2} \big]_{\mathfrak{g}_{2}} + \big[ [Z_{2}, X_{2}]_{\mathfrak{g}_{2}}, Y_{2} \big]_{\mathfrak{g}_{2}} \end{aligned} \right) \\ &= (0, 0) \end{align*} $$