📂표현론

특수 선형 리 대수

정의¹

대각합이 $0$인 행렬들의 집합은 특수선형군 $\operatorname{SL}(n, \mathbb{C})$의 리 대수이다.

$$ \mathfrak{sl}(n, \mathbb{C}) = \left\{X \in M_{n}(\mathbb{C}) : \operatorname{tr}(X) = 0 \right\} $$

$$ \mathfrak{sl}(n, \mathbb{R}) = \left\{X \in M_{n}(\mathbb{R}) : \operatorname{tr}(X) = 0 \right\} $$

설명

행렬곱에 대해서 브라켓을 $[X, Y] = XY - XY$로 정의하면 $\mathfrak{sl}(n, \mathbb{C})$는 리 대수를 이룬다. 정의만 봤을 때는 특수선형군 $\operatorname{SL}(n, \mathbb{C})$와 관련이 있어보이지 않지만, 실제로는 $\operatorname{SL}$의 리 대수가 된다. 그래서 위 내용은 정의이기도 정리이기도 하다. 행렬 리군 리대수의 정의에 따라 $\operatorname{SL}$의 리 대수의 정의는 다음과 같다.

$$ \begin{align*} \mathfrak{sl} &= \left\{ X : e^{tX} \in \operatorname{SL} \text{ for all } t \in \mathbb{R} \right\} \\ &= \left\{ X : \det(e^{tX}) = 1 \text{ for all } t \in \mathbb{R} \right\} \\ \end{align*} $$

정의에서 말하는 것은 대각합이 $0$인 모든 행렬들의 집합이 실제로 $\mathfrak{sl}$과 같다는 것이다.

증명

• $e^{tX}$의 행렬식이 $1$이면, $X$의 대각합이 $0$이다.

  행렬지수의 성질에 의해 다음이 성립한다.

  $$ e^{t\trace(X)} = \det(e^{tX}) = 1 \implies t \trace(X) = 0 $$

  이것이 모든 $t$에 대해서 성립하려면, $\trace(X) = 0$이어야 한다.

• $X$의 대각합이 $0$이면, $e^{tX}$의 행렬식이 $1$이다.

  행렬지수와 대각합의 성질에 의해 다음이 성립한다.

  $$ \det(e^{tX}) = e^{\trace(tX)} = e^{t\trace(X)} = e^{0} = 1 $$

성질

브라켓에 대해 닫힘

$X, Y \in \mathfrak{sl}$라고 하자. 대각합의 성질에 의해 다음이 성립한다.

$$ \begin{align*} \trace([X, Y]) &= \trace(XY - YX) \\ &= \trace(XY) - \trace(YX) \\ &= \trace(XY) - \trace(XY) \\ &= 0 \end{align*} $$

차원

$\mathfrak{sl}(n, \mathbb{C})$는 $X$의 대각합이 $0$이라는 하나의 선형 제약조건 $x_{11} + x_{22} + \cdots + x_{nn} = 0$이 추가된 것이므로, 일반선형 리 대수 $\mathfrak{gl}(n, \mathbb{C}) = M_{n}(\mathbb{C})$보다 차원이 하나 작다.

$$ \dim \mathfrak{sl}(n, \mathbb{C}) = n^{2} - 1 $$