📂표현론

행렬 리 군의 리 대수

정의¹

$G$를 행렬 리 군이라 하자. 다음을 만족하는 집합을 $G$의 리 대수^{Lie algebra of $G$}라 하고, $\mathfrak{g}$로 표기한다.

$$ \mathfrak{g} = \left\{X : e^{tX} \in G \text{ for all } t \in \mathbb{R} \right\} $$

여기서 $e^{tX}$는 행렬 지수이다.

설명

행렬 리 대수는, 정의에서와 같이, 관습적으로 대응되는 행렬 리 군을 소문자 프락투어체로 표기한다.

$$ \operatorname{GL}(n, \mathbb{R}) \leftrightarrow \mathfrak{gl}(n, \mathbb{R}) $$

$$ \operatorname{SL}(n, \mathbb{R}) \leftrightarrow \mathfrak{sl}(n, \mathbb{R}) $$

리 대수에는 반대칭성이고 선형인 이항연산 $[\cdot, \cdot]$이 존재하는데 이를 행렬리군의 리대수에서는 행렬곱에 대해서 $[X, Y] = XY - YX$로 정의된다. 이를 브라켓^bracket 혹은 교환자^commutator라 한다.

성질

$G$를 행렬 리 군, $\mathfrak{g}$를 $G$의 리 대수라 하자. $X, Y \in \mathfrak{g}$에 대해서 다음이 성립한다.

(a) $\forall A \in G$,$\quad AXA^{-1} \in \mathfrak{g}$

(b) $\forall s \in \mathbb{R}$, $\quad sX \in \mathfrak{g}$

(c) $X + Y \in \mathfrak{g}$

(d) $[X, Y] = XY - YX \in \mathfrak{g}$

증명

(a)

$\mathfrak{g}$의 정의에 의해서, $AXA^{-1} \in \mathfrak{g}$인 것을 보이려면 $e^{t(AXA^{-1})} \in G$임을 확인하면 된다. 행렬지수의 성질에 의해, $A \in G$이면 $e^{t(AXA^{-1})} = e^{A(tX)A^{-1}} = Ae^{tX}A^{-1}$이다. $A, e^{tX}, A^{-1} \in G$이고 $G$는 행렬곱에 대해서 닫혀있으므로, $Ae^{tX}A^{-1} \in G$이다. 따라서 $AXA^{-1} \in \mathfrak{g}$이다.

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(b)

$e^{t(sX)} = e^{(ts)X}$인데, 모든 $t \in \mathbb{R}$에 대해서 $e^{tX} \in G$이므로, 모든 $s$에 대해서 $sX \in \mathfrak{g}$이다.

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(c)

리 곱 공식에 의해 다음이 성립한다.

$$ e^{t(X+Y)} = \lim\limits_{m \to \infty} (e^{tX/m} e^{tY/m})^{m} $$

여기서 $X, Y \in G$이고 $G$는 행렬곱에 대해 닫혀있으므로, 모든 $m$에 대해서 $(e^{tX/m}e^{tY/m})^{m}\in G$이다. 또한 $G$는 정의에 의해, $G$의 수열은 항상 $G$로 수렴한다. 따라서 $e^{t(X+Y)} \in G$이고, $X + Y \in \mathfrak{g}$이다.

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(d)

우선 행렬값 함수의 미분과 행렬지수의 성질에 의해 다음이 성립한다.

$$ \begin{align*} \left.\dfrac{d}{dt} (e^{tX}Ye^{-tX}) \right|_{t=0} &= Xe^{0X}Ye^{0X} + e^{0X}Y(-X)e^{0X} \\ &= XY - YX \end{align*} $$

한편 (a) 에 의해 모든 $t$에 대해서 $e^{tX}Ye^{-tX} \in \mathfrak{g}$이다. 또한 (b), (c) 에 의해 덧셈과 상수곱에 대해 닫혀있으므로 $\mathfrak{g}$는 $M_{n}(\mathbb{C})$의 실부분공간이다. $M_{n}(\mathbb{C})$의 표준 놈을 생각하면, $\mathfrak{g}$는 유한차원 놈공간이므로 완비공간이다. 따라서 완비부분공간이므로 $\mathfrak{g} \subset M_{n}(\mathbb{C})$는 닫힌집합이다.

한편 앞서 보았듯 $e^{hX}Ye^{-hX} \in \mathfrak{g}$이고 $\mathfrak{g}$는 부분공간이므로, 각 $h \ne 0$에 대해 차분 $\dfrac{e^{hX}Ye^{-hX} - Y}{h} \in \mathfrak{g}$이다. 따라서 $\mathfrak{g}$가 닫힌집합이므로, 이 차분들의 극한인 아래의 값도 $\mathfrak{g}$에 속한다.

$$ XY - YX = \lim_{h \to 0} \dfrac{e^{hX}Ye^{-hX} - Y}{h} $$

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