📂표현론

행렬 리 군의 리 대수

정의¹

$G$를 행렬 리 군이라 하자. 다음을 만족하는 집합을 $G$의 리 대수^{Lie algebra of $G$}라 하고, $\mathfrak{g}$로 표기한다.

$$ \mathfrak{g} = \left\{X : e^{tX} \in G \text{ for all } t \in \mathbb{R} \right\} $$

여기서 $e^{tX}$는 행렬 지수이다.

설명

행렬 리 대수는, 정의에서와 같이, 관습적으로 대응되는 행렬 리 군을 소문자 프락투어체로 표기한다.

$$ \operatorname{GL}(n, \mathbb{R}) \leftrightarrow \mathfrak{gl}(n, \mathbb{R}) $$

$$ \operatorname{SL}(n, \mathbb{R}) \leftrightarrow \mathfrak{sl}(n, \mathbb{R}) $$

성질

$G$를 행렬 리 군, $\mathfrak{g}$를 $G$의 리 대수라 하자. $X, Y \in \mathfrak{g}$에 대해서 다음이 성립한다.

(a) $\forall A \in G$,$\quad AXA^{-1} \in \mathfrak{g}$

(b) $\forall s \in \mathbb{R}$, $\quad sX \in \mathfrak{g}$

(c) $X + Y \in \mathfrak{g}$

(d) $[X, Y] = XY - YX \in \mathfrak{g}$

증명

(a)

$\mathfrak{g}$의 정의에 의해서, $AXA^{-1} \in \mathfrak{g}$인 것을 보이려면 $e^{t(AXA^{-1})} \in G$임을 확인하면 된다. 행렬지수의 성질에 의해, $A \in G$이면 $e^{t(AXA^{-1})} = e^{A(tX)A^{-1}} = Ae^{tX}A^{-1}$이다. $A, e^{tX}, A^{-1} \in G$이고 $G$는 행렬곱에 대해서 닫혀있으므로, $Ae^{tX}A^{-1} \in G$이다. 따라서 $AXA^{-1} \in \mathfrak{g}$이다.

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(b)

$e^{t(sX)} = e^{(ts)X}$인데, 모든 $t \in \mathbb{R}$에 대해서 $e^{tX} \in G$이므로, 모든 $s$에 대해서 $sX \in \mathfrak{g}$이다.

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(c)

리 곱 공식에 의해 다음이 성립한다.

$$ e^{t(X+Y)} = \lim\limits_{m \to \infty} (e^{tX/m} e^{tY/m})^{m} $$

여기서 $X, Y \in G$이고 $G$는 행렬곱에 대해 닫혀있으므로, 모든 $m$에 대해서 $(e^{tX/m}e^{tY/m})^{m}\in G$이다. 또한 $G$는 정의에 의해, $G$의 수열은 항상 $G$로 수렴한다. 따라서 $e^{t(X+Y)} \in G$이고, $X + Y \in \mathfrak{g}$이다.

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