대척점

정의

2차원 단위원 혹은 3차원 단위구 위의 한 점 $p$가 주어졌다고 하자. 점 $p$의 반대편, 즉 $p$와 구의 중심을 지나는 직선이 구와 만나는 두 점 중 $p$가 아닌 점을 $-p$라 표기하고 $p$의 대척점^{antipodal point}이라 한다.

순서쌍 $(p, -p)$를 대척쌍^antipodes라 한다.

지리학에서의 정의

지리학에서, 지구상의 어느 지점에 대한 대척점이란 지구 표면에서 그 지점과 지름을 사이에 두고 정반대편에 위치한 지점을 말한다.

설명

대척점이라는 단어는 일상적으로도 “서로 대척점에 있다"와 같은 문장으로 자주 쓰인다. 두 의견이 첨예하게 대립하거나, 성질이 전혀 다른 등 서로 반대되는 경우를 말한다. 수학/과학에서의 정의도 그와 다르지 않은데, 대척점이란 기준이 되는 점에서 가장 멀리 떨어진 점을 말한다.

2차원 및 3차원에서의 대척점의 좌표는 다음과 같다. 쉽게 생각해서 모든 각도 성분에 $\pi$를 더하면 된다.

2차원	기준점	대척점
데카르트 좌표	$(x, y)$	$(-x, -y)$
극 좌표	$(r, \theta)$	$(r, \theta + \pi)$

3차원	기준점	대척점
데카르트 좌표	$(x, y, z)$	$(-x, -y, -z)$
구 좌표	$(r, \theta, \phi)$	$(r, \theta + \pi/2, \phi + \pi)$