📂고전역학

회전하는 좌표계에서 운동하는 물체의 운동방정식

공식¹

관성 좌표계에 대해 각속도 $\boldsymbol{\omega}$로 회전하는 좌표계에서, 질량 $m$인 물체의 운동방정식은 다음과 같다.

$$ m\mathbf{a}^{\prime} = \mathbf{F} - m\mathbf{A}_{0} - m\dot{\boldsymbol{\omega}} \times \mathbf{r}^{\prime} - 2m\boldsymbol{\omega} \times \mathbf{v}^{\prime} - m\boldsymbol{\omega} \times (\boldsymbol{\omega} \times \mathbf{r}^{\prime}) \tag{1} $$

여기서 $\mathbf{F}$는 물체에 실제로 작용하는 힘이고, 프라임($\prime$)이 붙은 $\mathbf{r}^{\prime}$, $\mathbf{v}^{\prime}$, $\mathbf{a}^{\prime}$은 회전 좌표계에서 잰 물체의 위치, 속도, 가속도이다. $\mathbf{A}_{0}$은 회전 좌표계의 원점이 관성계에 대해 갖는 가속도이다.

회전 좌표계의 관측자가 물체에 작용한다고 느끼는 힘, 즉 $(1)$의 좌변을 유효힘^{effective force}이라 하고 다음과 같이 쓴다.

$$ \mathbf{F}_{\text{eff}} = m \mathbf{a}^{\prime} $$

즉 유효힘은 실제 힘 $\mathbf{F}$에 $(1)$ 우변의 나머지 항들을 더한 것이며, 이 나머지 항들이 가상력이다.

설명

관성계에서는 $\mathbf{F} = m\mathbf{a}$가 성립하지만, 회전하는 좌표계에서 잰 가속도 $\mathbf{a}^{\prime}$은 관성계의 가속도 $\mathbf{a}$와 다르므로 일반적으로 $\mathbf{F} \ne m \mathbf{a}^{\prime}$이다. 따라서 회전 좌표계에서도 뉴턴 운동 법칙과 같은 꼴을 유지하려면, 실제 힘 $\mathbf{F}$ 외에 좌표계의 운동 때문에 생기는 항들을 힘처럼 덧붙여야 한다. 이렇게 덧붙은 항을 가상력^{fictitious force} 또는 관성력^{inertial force}이라 하며, 각 항에는 이름이 있다.

• $-m\mathbf{A}_{0}$: 좌표계 원점이 가속할 때 생기는 병진 관성력
• $-m\dot{\boldsymbol{\omega}} \times \mathbf{r}^{\prime}$: 각속도가 변할 때 생기는 오일러 힘^{Euler force}
• $-2m\boldsymbol{\omega} \times \mathbf{v}^{\prime}$: 회전 좌표계에서 물체가 움직일 때만 나타나는 코리올리 힘^{Coriolis force}
• $-m\boldsymbol{\omega} \times (\boldsymbol{\omega} \times \mathbf{r}^{\prime})$: 회전축에서 바깥쪽을 향하는 원심력^{centrifugal force}

가상력은 물체 사이의 상호작용이 아니라 좌표계를 비관성계로 잡았기 때문에 나타나는 것이므로, 뉴턴 제3법칙의 반작용이 없다. 이 중 코리올리 힘은 물체가 회전 좌표계에 대해 정지해 있거나($\mathbf{v}^{\prime} = \mathbf{0}$) 회전축과 나란히 움직이면($\mathbf{v}^{\prime} \parallel \boldsymbol{\omega}$) 사라진다. 네 관성력 중 유일하게 물체의 속도에 의존한다.

좌표계 원점이 등속으로 움직이고($\mathbf{A}_{0} = 0$) 각속도가 일정하면($\dot{\boldsymbol{\omega}} = 0$) 코리올리 힘과 원심력만 남는다.

$$ m\mathbf{a}^{\prime} = \mathbf{F} - 2m\boldsymbol{\omega} \times \mathbf{v}^{\prime} - m\boldsymbol{\omega} \times (\boldsymbol{\omega} \times \mathbf{r}^{\prime}) $$

지구는 자전하므로 지표면에 고정된 좌표계도 회전 좌표계이다. 자유 낙하하는 물체가 동쪽으로 치우치는 현상, 푸코 진자의 진동면이 돌아가는 현상, 태풍의 회전 방향은 모두 이 식의 코리올리 힘으로 설명된다.

유도

관성 좌표계에 대해 각속도 $\boldsymbol{\omega}$로 회전하는 좌표계를 생각하자. 프라임($\prime$)이 붙은 양은 회전 좌표계에서 잰 값으로, $\mathbf{r}^{\prime}$, $\mathbf{v}^{\prime}$, $\mathbf{a}^{\prime}$은 각각 그 좌표계에서 본 물체의 위치, 속도, 가속도이다. $\mathbf{A}_{0}$은 회전 좌표계의 원점이 관성계에 대해 갖는 가속도이다. 이때 관성계에서 본 물체의 가속도는 다음과 같다.

$$ \mathbf{a} = \mathbf{a}^{\prime} + \dot{\boldsymbol{\omega}} \times \mathbf{r}^{\prime}+ 2\boldsymbol{\omega} \times \mathbf{v}^{\prime}+\boldsymbol{\omega} \times ( \boldsymbol{\omega} \times \mathbf{r}^{\prime}) + \mathbf{A}_{0} $$

관성계에서는 뉴턴 제2법칙 $\mathbf{F} = m\mathbf{a}$가 성립하므로 여기에 위 식을 대입한다.

$$ \mathbf{F} = m\mathbf{a}^{\prime} + m\dot{\boldsymbol{\omega}} \times \mathbf{r}^{\prime} + 2m\boldsymbol{\omega} \times \mathbf{v}^{\prime} + m\boldsymbol{\omega} \times (\boldsymbol{\omega} \times \mathbf{r}^{\prime}) + m\mathbf{A}_{0} $$

$m\mathbf{a}^{\prime}$만 좌변에 남기고 나머지 항을 우변으로 옮기면 공식을 얻는다.

$$ m\mathbf{a}^{\prime} = \mathbf{F} - m\mathbf{A}_{0} - m\dot{\boldsymbol{\omega}} \times \mathbf{r}^{\prime} - 2m\boldsymbol{\omega} \times \mathbf{v}^{\prime} - m\boldsymbol{\omega} \times (\boldsymbol{\omega} \times \mathbf{r}^{\prime}) $$