물리량
정의1
물리량physical quantity이란, 측정measurement하여 정량화quantify할 수 있는 물질material이나 계system의 성질을 의미한다.
설명
임의의 물리량은 수치적 값numerical value과 🔒(26/04/19)측정 단위unit of measurement의 곱으로 표현되며, 각각 줄여서 값과 단위라 할 수 있다. 구체적으로 임의의 물리량 $Z$에 대해서, 그 값은 중괄호로 감싼 $\left\{ Z \right\}$, 단위는 각괄호로 감싼 $\left[ Z \right]$로 표현한다.
$$ Z = \left\{ Z \right\} \times [Z] = \left\{ Z \right\} [Z] $$
두 물리량 $Z$와 $W$의 곱은 아래와 같이 나타낸다.
$$ ZW = (\left\{ Z \right\} \left\{ W \right\}) \times ([Z][W]) $$
차원
차원은 서로 다른 물리량을 구분짓기 위한 것으로, 서로 다른 차원을 가진 물리량은 서로 다른 종류의 물리량임을 의미한다. 물리량의 근본적인 성질을 표현하는 방법이며, 아래에서 설명할 기본량, 유도량, 무차원량을 정의하는데도 사용된다. 기본이 되는 차원은 아래의 일곱가지가 있으며, 모든 물리량은 이들의 조합으로 표현된다.
$$ \text{질량: } \mathsf{M} \quad \text{길이: } \mathsf{L} \quad \text{시간: } \mathsf{T} \quad \text{전류: } \mathsf{I} $$ $$ \text{온도: } \mathsf{\Theta} \quad \text{물질의 양: } \mathsf{N} \quad \text{광도: } \mathsf{J} $$
단위
🔒(26/04/19)단위는 물리량의 값을 매기기 위한 기준을 말한다. 물리량의 크기를 가늠하기위해 반드시 필요하다.
요약하자면 차원은 물리량의 구분을 위한 개념, 단위는 물리량에 값을 매기고 표현하기 위한 개념이라 할 수 있다.
기본량
기본 물리량base quantities이란, 물리량의 부분집합으로써 어떤 다른 물리량으로도 표현되지 않는 물리량을 말한다. 다른 모든 물리량은 기본 물리량으로부터 유도될 수 있다. 국제량체계international system of quantities, ISQ에서는 아래와 같은 $7$개의 기본 물리량을 지정한다.
| 물리량 | SI 단위 | 차원 기호 | ||
|---|---|---|---|---|
| 이름 | 기호 | 이름 | 기호 | |
| 길이 | $l$, $x$, $r$ | 미터 | $\mathrm{m}$ | $\mathsf{L}$ |
| 시간 | $t$ | 초 | $\mathrm{s}$ | $\mathsf{T}$ |
| 질량 | $m$ | 킬로그램 | $\mathrm{kg}$ | $\mathsf{M}$ |
| 온도 | $T$ | 켈빈 | $\mathrm{K}$ | $\mathsf{\Theta}$ |
| 물질량 | $n$ | 몰 | $\mathrm{mol}$ | $\mathsf{N}$ |
| 전류 | $i$, $I$ | 암페어 | $\mathrm{A}$ | $\mathsf{I}$ |
| 광도 | $I_{\mathrm{v}}$ | 캔델라 | $\mathrm{cd}$ | $\mathsf{J}$ |
따라서 임의의 물리량 $Z$의 차원은 다음과 같이 기본 물리량의 거듭제곱의 곱으로 나타난다.
$$ [Z] = \left[ \mathsf{L} \right]^{\alpha} \left[ \mathsf{T} \right]^{\beta} \left[ \mathsf{M} \right]^{\gamma} \left[ \mathsf{\Theta} \right]^{\delta} \left[ \mathsf{N} \right]^{\epsilon} \left[ \mathsf{I} \right]^{\zeta} \left[ \mathsf{J} \right]^{\eta} $$
기본 물리량을 대수적 관점에서 벡터공간의 기저에 비유할 수 있다. 벡터공간 $V$의 임의의 벡터 $v \in V$는 기저 $\left\{ e_{i} \right\}$를 이용해 다음과 같이 표현된다. $$ v = \sum_{i} c_{i} e_{i} $$ 벡터공간의 기저는 이들의 조합으로 모든 벡터를 표현할 수 있는 것처럼, 기본 물리량 역시 이들의 조합으로 다른 모든 물리량을 표현할 수 있다.
논리적으로는 공리axiom에 비유할 수 있다. 수학에서 공리란, 다른 어떤 명제로부터 유도되거나 증명되지 않고 참이라 받아들이는 명제를 의미한다. 속도는 길이와 시간으로, 운동량은 질량과 속도로 설명할 수 있는 반면에 기본 물리량인 질량과 시간은 그 자체로 이해하고 받아들여야한다.
유도량
유도 물리량derived quantities이란, 기본 물리량의 조합으로 정의되는 물리량을 의미한다.
스칼라
| 이름 | 기호 | SI 단위 | 차원 |
|---|---|---|---|
| 질량 | $m$ | 킬로그램 $\mathrm{kg}$ | $\mathsf{M}$ |
| 시간 | $t$ | 초 $\mathrm{s}$ | $\mathsf{T}$ |
| 부피 | $V$ | $\mathrm{m}^{3}$ | $\mathsf{L}^{3}$ |
| 밀도 | $\rho$ | $\mathrm{kg/m^{3}}$ | $\mathsf{ML}^{-3}$ |
벡터
| 이름 | 기호 | SI 단위 | 차원 |
|---|---|---|---|
| 위치 | $x$, $\mathbf{x}$ | - | - |
| 속도 | $v$, $\mathbf{v}$ | - | - |
| 가속도 | $a$, $\mathbf{a}$ | - | - |
| 힘 | $F$, $\mathbf{F}$ | - | - |
| 운동량 | $p$, $\mathbf{p}$ | - | - |
텐서
| 이름 | 기호 | SI 단위 | 차원 |
|---|---|---|---|
| 코시 스트레스 텐서 | $\sigma$ | - | - |
| 맥스웰 변형력 텐서 | $\mathbf{T}$ | - | - |
무차원량
무차원량dimensionless quantites이란 차원이 $1$, 즉 결합된 모든 차원의 지수가 $0$인 물리량을 말한다. $A$가 무차원량이면,
$$ \left[ A \right] = \left[ \mathsf{L} \right]^{0} \left[ \mathsf{T} \right]^{0} \left[ \mathsf{M} \right]^{0} \left[ \mathsf{\Theta} \right]^{0} \left[ \mathsf{N} \right]^{0} \left[ \mathsf{I} \right]^{0} \left[ \mathsf{J} \right]^{0} = 1 $$