폰 미제스 분포의 특성함수
공식
정수 $n$에 대하여, 폰 미제스 분포 $\operatorname{vM}(\mu, \kappa)$의 특성함수 $\phi_{n}$은 다음과 같다.
$$ \phi_{n} = \dfrac{I_{n}(\kappa)}{I_{0}(\kappa)} e^{\mathrm{i}\mu n} $$
여기서 $I_{n}$은 차수가 $n$인 제1 종 변형베셀함수이다.
유도
폰 미제스 분포의 확률밀도함수는 아래와 같다.
$$ f(\theta) = f(\theta; \mu, \kappa) = \dfrac{1}{2 \pi I_{0}(\kappa)} \exp (\kappa \cos (\theta - \mu)) $$
특성함수를 구하기 위해 수식을 정리하면 아래와 같다.
$$ \begin{align*} \phi_{n} &= \mathbb{E} \left[ e^{\mathrm{i}n\theta} \right] \\ &= \dfrac{1}{2\pi I_{0}(\kappa)} \int_{-\pi}^{\pi} e^{\mathrm{i}n\theta} e^{\kappa \cos (\theta - \mu)} \mathrm{d}\theta \\[1em] &\quad (\text{Change of variable: $x = \theta - \mu$}) \\ &= \dfrac{1}{2\pi I_{0}(\kappa)} \int_{-\pi}^{\pi} e^{\mathrm{i}nx} e^{\mathrm{i}n\mu} e^{\kappa \cos x} \mathrm{d}x \\ &= \dfrac{e^{\mathrm{i}n\mu}}{2\pi I_{0}(\kappa)} \int_{-\pi}^{\pi} e^{\mathrm{i}nx} e^{\kappa \cos x} \mathrm{d}x \\ &= \dfrac{e^{\mathrm{i}n\mu}}{2\pi I_{0}(\kappa)} \int_{-\pi}^{\pi} (\cos(nx) + \mathrm{i}\sin(nx)) e^{\kappa \cos x} \mathrm{d}x \quad (\text{Euler’s formula})\\ &= \dfrac{e^{\mathrm{i}n\mu}}{2\pi I_{0}(\kappa)} \left[ \int_{-\pi}^{\pi} \cos(nx) e^{\kappa \cos x} \mathrm{d}x + \mathrm{i}\int_{-\pi}^{\pi} \sin(nx) e^{\kappa \cos x} \mathrm{d}x \right] \end{align*} $$
두번째 적분을 보면, $\sin(nx)$는 기함수이고, $e^{\kappa \cos x}$는 우함수이므로, 피적분함수는 기함수이고 적분은 $0$이다.
$$ \begin{align*} \phi_{n} &= \dfrac{e^{\mathrm{i}n\mu}}{2\pi I_{0}(\kappa)} \int_{-\pi}^{\pi} \cos(nx) e^{\kappa \cos x} \mathrm{d}x \\ &= \dfrac{e^{\mathrm{i}n\mu}}{\pi I_{0}(\kappa)} \int_{0}^{\pi} \cos(nx) e^{\kappa \cos x} \mathrm{d}x &= \dfrac{e^{\mathrm{i}n\mu}}{I_{0}(\kappa)} \left[ \dfrac{1}{\pi} \int_{0}^{\pi} \cos(nx) e^{\kappa \cos x} \mathrm{d}x \right] \end{align*} $$
여기서 괄호안의 값은, $n$이 정수이므로, 아래와 같이 나타난다.
$$ \phi_{n} = \dfrac{e^{\mathrm{i}n\mu}}{I_{0}(\kappa)} I_{n}(\kappa) = \dfrac{I_{n}(\kappa)}{I_{0}(\kappa)} e^{\mathrm{i}\mu n} $$
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