📂확률분포론

감긴 정규분포

정의¹

정규분포 $N(\mu, \sigma^{2})$에 대한 감긴 분포를 $\operatorname{WN}(\mu, \sigma^{2})$라 표기하고 감긴 정규분포^{wrapped normal distribution}라고 한다. 감긴 정규분포의 확률밀도함수는 다음과 같다.

$$ f_{\text{WN}}(\theta; \mu, \sigma) = \sum_{k \in \mathbb{Z}} \dfrac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^{2}}} \exp\left( -\dfrac{(\theta - \mu + 2\pi k )^{2}}{2\sigma^{2}} \right), \qquad \theta \in [0, 2\pi) $$

설명

직관적으로 감긴 정규분포는 원 위에서 정의되는 정규분포라 볼 수 있다. 이와 비슷한 개념으로 정의되는 분포로 폰 미제스 분포가 있다. 감긴 정규분포는 $\mathbb{R}$ 위에서 정의된 정규분포를 $S^{1}$으로 매핑시키는 것이고, 폰 미제스 분포는 애초부너 $S^{1}$에서 정의된다는 차이가 있다.

성질

(a) $f_{\text{WN}}$는 다음의 꼴로도 표현된다. $$ f_{\text{WN}}(\theta; \mu, \sigma) = \dfrac{1}{2\pi} \sum_{n \in \mathbb{Z}} e^{-\sigma^{2}n^{2}/2 + \mathrm{i}(\theta - \mu) } $$