텐서 필드
정의
물리학에서 텐서 필드tensor field란, 공간의 각 벡터(점)마다 텐서 값을 대응시키는 것, 즉 다음과 같은 함수를 말한다.
$$ f: \mathbb{R}^{n} \to \mathbb{R}^{m \times p} $$
설명
필드라는 이름이 붙은 함수는 그 정의역의 원소가 벡터임을 의미한다. 그래서 텐서 필드란, 벡터를 텐서로 대응시키는 함수이다.
| 함수 | 대응관계 | 예시 |
|---|---|---|
| 스칼라 필드 | 벡터 $\mapsto$ 🔒(26/04/27)스칼라 | 점 $(x, y, z)$에서의 온도 $T = T(x,y,z)$ |
| 벡터 필드 | 벡터 $\mapsto$ 벡터 | 점 $(x, y, z)$에서 물체의 속도 $\mathbf{v} = \mathbf{v}(x, y, z) = \begin{bmatrix} v_{x}(x,y,z) \\ v_{y}(x,y,z) \\ v_{z}(x,y,z) \end{bmatrix}$ |
| 텐서 필드 | 벡터 $\mapsto$ 텐서 | 점 $(x, y, z)$에서 물체가 받는 응력 $\sigma = \sigma(x, y, z) = \begin{bmatrix} \sigma_{xx} & \sigma_{xy} & \sigma_{xz} \\ \sigma_{yx} & \sigma_{yy} & \sigma_{yz} \\ \sigma_{zx} & \sigma_{zy} & \sigma_{zz} \end{bmatrix}$ |
예로는 아래의 것들이 있다.
맥스웰 변형력 텐서: $$ \mathbf{T} = \begin{bmatrix} T_{xx} & T_{xy} & T_{xz} \\ T_{yx} & T_{yy} & T_{yz} \\ T_{zx} & T_{zy} & T_{zz} \end{bmatrix} $$ $$ T_{ij} = \epsilon_{0} \left( E_{i}E_{j}-\dfrac{1}{2}\delta_{ij}E^2 \right) + \dfrac{1}{\mu_{0}}\left(B_{i}B_{j}-\dfrac{1}{2}\delta_{ij}B^2 \right) $$
코시 응력 텐서: $$ \sigma = \begin{bmatrix} \sigma_{11} & \sigma_{12} & \sigma_{13} \\ \sigma_{21} & \sigma_{22} & \sigma_{23} \\ \sigma_{31} & \sigma_{32} & \sigma_{33} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \sigma_{xx} & \sigma_{xy} & \sigma_{xz} \\ \sigma_{yx} & \sigma_{yy} & \sigma_{yz} \\ \sigma_{zx} & \sigma_{zy} & \sigma_{zz} \end{bmatrix} $$
관성 모멘트 텐서: $$ I = \begin{bmatrix} I_{11} & I_{12} & I_{13} \\ I_{21} & I_{22} & I_{23} \\ I_{31} & I_{32} & I_{33} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} I_{xx} & I_{xy} & I_{xz} \\ I_{yx} & I_{yy} & I_{yz} \\ I_{zx} & I_{zy} & I_{zz} \end{bmatrix} $$