벡터 필드
정의
물리학에서 벡터 필드vector field란, 공간의 각 벡터(점)마다 벡터 값을 대응시키는 것, 즉 다음과 같은 함수를 말한다.
$$ f: \mathbb{R}^{n} \to \mathbb{R}^{m} $$
설명
필드라는 이름이 붙은 함수는 그 정의역의 원소가 벡터임을 의미한다. 그래서 벡터 필드란, 벡터를 벡터로 대응시키는 함수이다.
| 함수 | 대응관계 | 예시 |
|---|---|---|
| 스칼라 필드 | 벡터 $\mapsto$ 🔒(26/04/27)스칼라 | 점 $(x, y, z)$에서의 온도 $T = T(x,y,z)$ |
| 벡터 필드 | 벡터 $\mapsto$ 벡터 | 점 $(x, y, z)$에서 물체의 속도 $\mathbf{v} = \mathbf{v}(x, y, z) = \begin{bmatrix} v_{x}(x,y,z) \\ v_{y}(x,y,z) \\ v_{z}(x,y,z) \end{bmatrix}$ |
| 텐서 필드 | 벡터 $\mapsto$ 텐서 | 점 $(x, y, z)$에서 물체가 받는 응력 $\sigma = \sigma(x, y, z) = \begin{bmatrix} \sigma_{xx} & \sigma_{xy} & \sigma_{xz} \\ \sigma_{yx} & \sigma_{yy} & \sigma_{yz} \\ \sigma_{zx} & \sigma_{zy} & \sigma_{zz} \end{bmatrix}$ |
예로는 아래의 것들이 있다.
(선)속도 $$ \mathbf{v}(x, y, z) = (v_x(x, y, z), v_y(x, y, z), v_z(x, y, z)) $$
각속도 $$ \boldsymbol{\omega}(x, y, z) = (\omega_x(x, y, z), \omega_y(x, y, z), \omega_z(x, y, z)) $$
전기장 $\mathbf{E}$: $$ \mathbf{E}(x, y, z) = (E_x(x, y, z), E_y(x, y, z), E_z(x, y, z)) $$
자기장 $\mathbf{B}$: $$ \mathbf{B}(x, y, z) = (B_x(x, y, z), B_y(x, y, z), B_z(x, y, z)) $$