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볼자노-바이어슈트라스 정리 📂해석개론

볼자노-바이어슈트라스 정리

정리

무한집합 E⊂RE \subset \mathbb{R} 가 유계면 EE 의 집적점 p∈Rp \in \mathbb{R}이 존재한다.

설명

혹은 ‘유계 수열은 수렴하는 부분수열을 갖는다.‘라고 해도 좋다. 조건에서 EE 가 꼭 닫혀있을 필요는 없다는 점을 알아두도록 하자.

증명

Part 1. ⋂n=1∞In={x}\displaystyle \bigcap_{n=1}^{\infty} I_{n} = \left\{ x \right\}

가정에서 EE 가 유계이므로 E⊂I1E \subset I_{1} 를 만족하는 폐구간 I1:=[a,b]I_{1} := [a,b] 가 존재한다. 여기서 I2I_{2} 를 길이가 I1I_{1} 의 절반이고 EE 의 점을 무한히 많이 포함하는 구간으로 잡도록 하자. 이러한 과정을 반복해서 내포구간 In+1⊂InI_{n+1} \subset I_{n} 을 만들 수 있고, InI_{n} 의 길이는 dn:=b−a2n\displaystyle d_{n} : = {{b-a} \over {2^{n}}} 이 된다.

칸토어의 축소구간 정리: 내포된 구간 [an,bn][a_{n}, b_{n}] 에 대해서 lim⁡n→∞(bn−an)=0\displaystyle \lim_{n \to \infty} (b_{n} - a_{n}) = 0 이면 ⋂n=1∞[an,bn]\displaystyle \bigcap_{n=1}^{\infty} [a_{n}, b_{n}] 은 홑원소 집합이다.

lim⁡n→∞dn=0\displaystyle \lim_{n \to \infty} d_{n} = 0 이므로 축소구간 정리에 의해 ⋂n=1∞In={x}\displaystyle \bigcap_{n=1}^{\infty} I_{n} = \left\{ x \right\} [NOTE : 딱히 x∈Ex \in E 일 필요는 없다]

Part 2. xx 는 EE 의 집적점

xx 를 포함하는 열린 집합 OO 를 생각해보면, 실수의 조밀성에 의해 (x−ε,x+ε)⊂O(x - \varepsilon , x + \varepsilon ) \subset O 가 되도록 하는 ε>0\varepsilon>0 가 존재한다. 앞서 보았듯 lim⁡n→∞dn=0\displaystyle \lim_{n \to \infty} d_{n} = 0 이므로 dn0=b−a2n0<ε\displaystyle d_{n_{0}} = {{b-a} \over {2^{n_{0}}}} < \varepsilon 을 만족하는 자연수 n0n_{0} 역시 존재할 것이므로

x∈In0⊂(x−ε,x+ε)⊂O x \in I_{n_{0}} \subset (x - \varepsilon , x + \varepsilon ) \subset O

집적점: 실수상에서의 한 점 x∈Rx \in \mathbb{R} 과 부분집합 A⊂RA \subset \mathbb{R} 에 대해 xx 를 포함한 임의의 열린 집합 OO 에 대해 O∩(A∖{x})≠∅O \cap ( A \setminus \left\{ x \right\} ) \ne \emptyset 이면 xx 를 집적점이라 정의한다.

OO 를 어떻게 잡더라도 xx 를 포함하는 열린 집합인 이상 (O∖{x})∩E≠∅\left( O \setminus \left\{ x \right\} \right) \cap E \ne \emptyset 일수밖에 없다. 따라서 xx 는 EE 의 집적점이 된다.

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