📂행렬대수

우세 고유값

정의¹

정방행렬 $A$의 서로 다른 고유값 $\lambda_{1}, \lambda_{2}, \ldots, \lambda_{k}$이 있다고 하자. 이때 다음을 만족하는 $\lambda_{j}$를 $A$의 우세 고유값^{dominant eigenvalue}, 이에 대응되는 고유벡터를 $A$의 우세 고유벡터^{dominant eigenvector}라 한다.

$$ | \lambda_{j} | \gt | \lambda_{i} | \quad \text{for all } i \ne j $$

설명

정의에서 $\lambda_{i}$들은 서로 다른 고유값이라 했으므로, 우세 고유값은 존재한다면 유일하다. 우세 고유값은 행렬에 따라서 존재할 수도 있고, 아닐 수도 있다. 가령 행렬 $A = \begin{bmatrix} -4 & 0 & 0 \\ 0 & -5 & 3 \\ 0 & -6 & 4 \end{bmatrix}$의 고유값은 $-4$, $-2$, $1$이므로 $A$의 우세 고유값은 $-4$이다. 반면 행렬 $B = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 5 \\ 0 & 1 & -2 \end{bmatrix}$의 고유값은 $-3$, $1$, $3$이므로 $B$의 우세 고유값이 존재하지 않는다.