📂표현론

수반 사상

정의¹

$\mathfrak{g}$를 리 대수, 이의 원소를 $X \in \mathfrak{g}$라고 하자. 그리고 선형사상 $\ad_{X} : \mathfrak{g} \to \mathfrak{g}$를 다음과 같이 정의하자.

$$ \ad_{X}(Y) = [X, Y] $$

이때 사상 $X \mapsto \ad_{X}$를 수반 사상^{adjoint map} 혹은 수반 표현^{adjoint representation}이라 한다.

설명

수반사상이란 선형사상 $\ad_{X}$가 아니라, $X \mapsto \ad_{X}$를 말하는 것임에 유의하자. 그러니까 수반사상의 정의역과 공역은 다음과 같다.

$$ \text{adjoint map : } \mathfrak{g} \to \operatorname{End}(\mathfrak{g}) $$

이때 $\operatorname{End}(\mathfrak{g})$는 준자기동형사상 공간을 말한다. $\operatorname{End}(\mathfrak{g})$ 자체도 리 대수가 되며, 이의 브라켓은 다음과 같이 교환자로 정의된다.

$$ [\cdot, \cdot] : \operatorname{End}(\mathfrak{g}) \times \operatorname{End}(\mathfrak{g}) \to \operatorname{End}(\mathfrak{g}) $$

$$ [\ad_{X}, \ad_{Y}] = \ad_{X} \circ \ad_{Y} - \ad_{Y} \circ \ad_{X} $$

$[X, [X, [X, Y]]]$와 같은 표기는 간단히 $(\ad_{X})^{3}(Y)$로 표기할 수 있다.

(b) 는 $\ad : \mathfrak{g} \to \operatorname{End}(\mathfrak{g})$가 리 대수 준동형사상이라는 것을 의미한다. 특히 (a) 와 (b) 는 각각 $\ad_{X}$와 $\ad$가 $[\cdot, \cdot]$에 대해서 마치 분배법칙을 만족한다는 것처럼 작동한다는 것을 의미한다.

성질

(a) $\ad_{X}([Y, Z]) = [\ad_{X}(Y), Z] + [Y, \ad_{X}(Z)]$

(b) $\ad_{[X, Y]} = [\ad_{X}, \ad_{Y}] = \ad_{X} \ad_{Y} - \ad_{Y} \ad_{X}$

증명

(a)

$[\cdot, \cdot]$가 야코비 항등식을 만족하므로,

$$ \begin{align*} && [X, [Y, Z]] + [Z, [X, Y]] + [Y, [Z, X]] = 0 \\ \implies && [X, [Y, Z]] - [[X, Y], Z] - [Y, [X, Z]] = 0 \\ \implies && \ad_{X} ([Y, Z]) - [\ad_{X}(Y), Z] - [Y, \ad_{X}(Z)] = 0 \\ \implies && \ad_{X}([Y, Z]) = [\ad_{X}(Y), Z] + [Y, \ad_{X}(Z)] \end{align*} $$

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(b)

$[\cdot, \cdot]$가 야코비 항등식을 만족하므로,

$$ \begin{align*} \ad_{[X, Y]}(Z) &= [[X,Y], Z] \\ &= -[[Z,X], Y] - [[Y,Z], X] \\ &= [Y, [Z,X]] + [X, [Y,Z]] \\ &= [X, [Y,Z]] + [Y, [Z,X]] \\ &= [X, [Y,Z]] - [Y, [X,Z]] \\ &= \ad_{X}([Y, Z]) - \ad_{Y}([X, Z]) \\ &= \ad_{X}(\ad_{Y}(Z)) - \ad_{Y}(\ad_{X}(Z)) \\ &= \left( \ad_{X}\ad_{Y} - \ad_{Y}\ad_{X} \right)(Z) \\ &= [\ad_{X}, \ad_{Y}] (Z) \end{align*} $$

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