📂해석개론

실수 집합과 공집합은 열려있으면서도 닫혀있다

정리

$\mathbb{R}$ 과 $\emptyset$ 은 열려있으면서 닫혀있다.

설명

실수 $\mathbb{R}$ 상에서 여러 개구간의 합집합을 열린 집합이라고 한다. 예로써 $(-1,0) \cup (2,3)$ 은 당연히 열린 집합이고, $(0,1)$ 이나 $\mathbb{R}$ 역시 열린 집합이다. 한편 닫혀있음은 열려있음을 통해 정의된다. 어떤 실수의 부분집합 $C$ 에 대해 $R \setminus C$ 가 열려 있으면 $C$ 를 닫힌 집합이라고 한다.제시된 정리에서도 이미 나와있지만 열리고 닫히고는 서로 배타적이지 않다. 따라서 ‘열린’은 ‘닫혀있지 않은’이 아니며, 마찬가지로 ‘닫힌’은 ‘열려있지 않은’이 아니다. 실수 집합과 공집합에 이 두가지 상태가 중첩되어 있다는 것은 상당히 흥미로운 이야기가 아닐 수 없다.

증명

• Part 1. $\mathbb{R}$ 과 $\emptyset$ 은 열린 집합

  $\mathbb{R} = (- \infty , \infty)$ 은 $\displaystyle \bigcup_{n \in \mathbb{Z}} (n-1,n+1) = ( - \infty , \infty)$ 와 같이 나타낼 수 있으므로 열린 집합이다.

  공진리

  $$\displaystyle \bigcup_{\alpha \in \emptyset} A_{\alpha} = \emptyset$$

  공집합은 개구간을 $0$개만큼 합집합을 취한 것이므로 정의에 따라 열린 집합임을 알 수 있다. [ NOTE: 공진리가 마음에 들지 않거나 와닿지 않는다면 어떤 실수 $x \in \mathbb{R}$ 에 대해 $(x,x) = \emptyset$ 임을 생각해보자. ]

• Part 2. $\mathbb{R}$ 과 $\emptyset$ 은 닫힌 집합

  $\emptyset = \mathbb{R} \setminus \mathbb{R}$ 이 열려있으므로, $\mathbb{R}$ 은 닫혀있다.

$\mathbb{R} = \mathbb{R} \setminus \emptyset$ 이 열려있으므로, $\emptyset$ 역시 닫혀있다.

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따름정리

$\mathbb{R^n}$ 과 $\emptyset$ 은 열려있으면서 닫혀있다.

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한편, 이 정리는 전체공간이 $\mathbb{R}^{n}$으로 주어졌을 때도 성립한다.