📂행렬대수

멱일원 행렬

정의¹

정방행렬 $A$에 대해서, $(A - I)^{k} = O$을 만족하는 양수 $k$가 존재하면, $A$를 멱일원^unipotent이라 한다. 이때 $O$는 영행렬이다.

설명

그러니까 $A - I$가 멱영행렬이면, $A$가 멱일원이다. 행렬 로그의 정의가 아래와 같으므로, $A$가 멱일원이면 $\log A$의 값이 존재한다.

$$ \log A = \sum\limits_{m=1}^{\infty} (-1)^{m+1} \dfrac{(A - I)^{m}}{m} \tag{1} $$

성질

(a) $A$가 멱일원이면, $\log A$가 멱영이다.

　(a') $A$가 멱일원이면, $e^{\log A} = A$이다.

(b) $X$가 멱영이면, $e^{X}$가 멱일원이다.

　(b') $X$가 멱영이면, $\log( e^{X} ) = X$이다.

증명

(a)

$A$가 멱일원이면, $(A - I)^{k} = O$을 만족하는 $k$가 존재한다. $\log A$의 정의는 $(1)$과 같으므로, $\log A$는 멱영이다.

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(a')

$A$가 멱일원이라 가정하자. 그러면 $A - I$가 멱영이므로, 어떤 멱영행렬 $N$에 대해서 $A = I + N$이다. $A(t) = I + tN$라 하자. 그러면 $\log A(t)$는 멱영이고 $t$에 대한 유한차수 다항식이다. 즉 어떤 $M$이 존재하여,

$$ \log A(t) = \sum\limits_{m=1}^{\infty} (-1)^{m+1} \dfrac{(tN)^{m}}{m} = \sum\limits_{m=1}^{M} (-1)^{m+1} \dfrac{t^{m}N^{m}}{m} $$

또한 $e^{\log A(t)}$ 역시 같은 이유로 $t$에 대한 유한차수 다항식이 된다.

$$ e^{\log A(t)} = \sum\limits_{s=0}^{\infty} \dfrac{\left( \sum\limits_{m=1}^{M} (-1)^{m+1} \dfrac{t^{m}N^{m}}{m} \right)^{s}}{s!} = \sum\limits_{s=0}^{S} \dfrac{\left( \sum\limits_{m=1}^{M} (-1)^{m+1} \dfrac{t^{m}N^{m}}{m} \right)^{s}}{s!} $$

이제 이를 $g(t) = e ^{\log A(t)}$라 하자.

행렬 로그의 성질:

$\| A - I \| \lt 1$이면, $e^{\log A} = A$

한편 충분히 작은 $t$에 대해서, $\| A(t) - I \| = \| tN \| \lt 1$이므로, 충분히 작은 무한히 많은 $t$에 대해서 다음이 성립한다.

$$ g(t) = e^{\log A(t)} = A(t) $$

따라서 두 다항식 $g(t)$와 $A(t)$는 같다. $t = 1$을 대입하면 다음을 얻는다.

$$ e^{\log A} = A $$

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(b)

$X$가 멱영이면, $X^{k} = O$를 만족하는 $k$가 존재한다. $e^{X}$의 정의는 아래와 같으므로, $X$가 멱영이면 $e^{X}$는 멱일원이다.

$$ e^{X} = I + \sum\limits_{m = 1}^{\infty} \dfrac{X^{m}}{m!} $$

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(b')

$X(t) = Xt$, $h(t) = \log e^{X(t)}$라 두고 (a') 과 같은 전략으로 증명하면 된다.

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