📂행렬대수

모든 행렬은 대각화가능행렬들의 수열의 극한이다

정리¹

모든 행렬 $A \in M_{n \times n}(\mathbb{C})$에 대해서, $A$로 수렴하는 대각화가능한 행렬들의 수열이 존재한다.

증명

$A$가 대각화가능하면 자명하므로, $A$가 대각화불가능이라 하자. 모든 행렬은 상삼각행렬과 닮음이므로, 다음을 만족하는 가역행렬 $S$와 상삼각행렬 $T$가 존재한다.

$$ A = S^{-1}TS, \qquad T = \begin{bmatrix} \lambda_{1} & * & \cdots & * \\ 0 & \lambda_{2} & \cdots & * \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & \lambda_{n} \end{bmatrix} $$

여기서 $\lambda_{i}$는 ($A$가 대각화불능이므로) 중복을 포함한 $A$의 고유값이다. 이제 대각행렬 $D_{k} = \diag(0, \frac{1}{k}, \frac{2}{k}, \cdots, \frac{n-1}{k})$를 정의하자. 그리고 $T_{k} = T+D_{k}$라 하면, $T_{k}$는 $n$개의 서로 다른 대각성분(=고유값)을 가지며, 대각화 가능하다. $A_{k} = S^{-1} T_{k} S$라 하면, $A_{k}$는 대각화가능하고 $A$로 수렴한다.

$$ \begin{align*} \| A_{k} - A \| &= \| S^{-1} T_{k} S - S^{-1}TS \| \\ &= \| S^{-1}(T_{k}-T)S \| \\ &\le \| S^{-1} \| \| T_{k}-T \| \| S \| \to 0 \text{ as } k \to \infty \end{align*} $$

부등식은 행렬 놈의 성질 $\| A B \| \le \| A \| \| B \|$에 의해 성립한다.

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