📂미분적분학

로그함수의 테일러급수

공식¹

로그함수의 테일러 급수는 다음과 같다.

$$ \log (1+x) = \sum\limits_{n=1}^\infty \dfrac{(-1)^{n+1} x^{n}}{n}, \qquad |x| \lt 1 $$

설명

$x$가 복소수일 때도 성립한다. 변수를 보기좋게 바꾸면 다음과 같다.

$$ \log z = \sum\limits_{n=1}^{\infty} \dfrac{(-1)^{n+1} (z-1)^{n}}{n}, \qquad |z - 1| \lt 1 $$

유도

$|t| \lt 1$일 때, $\dfrac{1}{1+t}$는 기하급수의 극한값이다.

$$ \dfrac{1}{1+t} = \sum\limits_{n=0}^{\infty} (-t)^{n}, \qquad |t| \lt 1 $$

위 급수는 $|t| \lt 1$에서 절대수렴한다. 따라서 $|t| \lt 1$에서 적분과 극한의 자리를 바꿀 수 있다.

$$ \int_{0}^{x} \dfrac{1}{1+t}dt = \int_{0}^{x} \sum\limits_{n=0}^\infty (-t)^n dt = \sum\limits_{n=0}^\infty \int_{0}^{x} (-t)^n dt = \sum\limits_{n=0}^\infty \dfrac{(-1)^{n} x^{n+1}}{n+1} $$

한편 좌변은 로그함수의 미분법에 의해 로그함수이다.

$$ \int_{0}^{x} \dfrac{1}{1+t}dt = \log (1+x) $$

따라서

$$ \log (1+x) = \sum\limits_{n=0}^\infty \dfrac{(-1)^{n} x^{n+1}}{n+1} = \sum\limits_{n=1}^\infty \dfrac{(-1)^{n+1} x^{n}}{n}, \qquad |x| \lt 1 $$

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