📂표현론

리 대수 동형사상

정의¹

$\mathfrak{g}$와 $\mathfrak{h}$를 리 대수라 하자. 선형사상 $\phi : \mathfrak{g} \to \mathfrak{h}$가 다음을 만족하면, 리 대수 준동형사상^{Lie algebra homomorphism}이라 한다.

$$ \phi([X, Y]_{\mathfrak{g}}) = [\phi(X), \phi(Y)]_{\mathfrak{h}}, \qquad \forall X, Y \in \mathfrak{g} $$

$\phi$가 전단사이면, 리 대수 동형사상^{Lie algebra isomorphism}이라 한다. $\mathfrak{h} = \mathfrak{g}$이면, $\phi$를 리 대수 자기동형사상^{Lie algebra automorphism}이라 한다.

설명

리 대수에는 이항연산 $[\cdot, \cdot]$이 주어져있으므로, 자연스럽게 이 연산을 보존하는 사상을 생각할 수 있다.

정리

$\mathfrak{g}$와 $\mathfrak{h}$가 리 대수라고 하자. $\phi : \mathfrak{g} \to \mathfrak{h}$가 리 대수 준동형사상이면, $\phi$의 커널은 $\mathfrak{g}$의 아이디얼이다.

증명

아이디얼

$\mathfrak{g}$의 부분대수 $\mathfrak{h}$가 다음을 만족하면, $\mathfrak{g}$의 아이디얼이라 한다.

$$ [X, H] \in \mathfrak{h} \quad \forall X \in \mathfrak{g}, \forall H \in \mathfrak{h} $$

$\phi$의 커널은 아래와 같다.

$$ \ker \phi = \left\{ X \in \mathfrak{g} : \phi(X) = 0 \right \} $$

$H \in \ker \phi$에 대해서, $\phi([X, H]) = 0$인 걸 보이면 증명 끝.

$$ \phi([X, H]) = [\phi(X), \phi(H)] = [\phi(X), 0] = 0 $$

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